Kezdőlap


Feladat:	F.1918	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Páles Zsolt
Füzet:	1974/december, 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Egyenesek egyenlete, Mértani helyek, Geometriai valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/február: F.1918

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a választott számokat $x$ -szel és $y$ -nal. A feladat feltételei szerint az $(x, y)$ számpárnak megfelelő $P$ pontot a koordinátasík $0 ≦ x ≦ 1$ , $0 ≦ y ≦ 1$ feltételekkel definiált $N$ négyzetéből választjuk geometriai eloszlás szerint. Ez azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy $P$ az $N$ valamely $A$ részhalmazába essen, egyenlő $A$ területével.
A választott számok távolsága az eredeti $(0,1)$ intervallumban a $P$ pont $x$ , $y$ koordinátáinak $| x - y |$ abszolút különbségével egyenlő. Ez kisebb $h$ -nál, ha

\begin{matrix} x - h < y < x + h . \end{matrix}

(1)

Amennyiben

0 < h < 1

N

-nek az (1) egyenlőtlenségnek eleget tevő pontjai azt az

A

halmazt alkotják, amelyet úgy kapunk

N

-ből, hogy levágjuk belőle az

(1; 0)

(0; 1)

csúcsokra támaszkodó

(1 - h)

oldalú egyenlő szárú derékszögű háromszögeket. Emiatt

A

területe

\begin{matrix} 1 - {(1 - h)}^{2} = h (2 - h), \end{matrix}

(2)

és ennyi az (1) esemény valószínűsége is.
Feladatunk szerint ez

1 / 4

és

3 / 4

közé esik, tehát

\begin{matrix} \frac{1}{4} < {(1 - h)}^{2} < \frac{3}{4}, \end{matrix}

vagyis a

h

szám

\frac{1}{2}

és

1 - \sqrt[]{3} / 2

közé esik.
Páles Zsolt (Sátoraljaújhely, Kossuth L. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Megoldásunkban nem bizonyítottuk be, hogy miért jelentik a feladat feltételei azt, hogy a

P (x, y)

pontot

N

-ben geometriai valószínűség szerint választjuk. Általában egy-egy valószínűségszámítással kapcsolatos problémának jobban szeretjük azt a megfogalmazását, amelyik a feltételeket lehetőleg szemléletesen, a gyakorlati élethez közelállóan tartalmazza. Ilyenkor azonban a megoldás előtt le kell fordítanunk a mondott feltételeket a valószínűségszámítás nyelvére. Esetünkben ugyan a valószínűségszámítás nyelvén volt megfogalmazva a feladat, a fenti átfogalmazáshoz azonban a gimnáziumi tantervbe átmenetileg beépített anyag nem volt elegendő.