Feladat: F.1917 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Kiss Emil 
Füzet: 1974/december, 205 - 206. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elemi függvények differenciálhányadosai, Szélsőérték differenciálszámítással, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/február: F.1917

Állapítsuk meg a2+b2 lehető legkisebb értékét, ha a és b olyan valós számokat jelentenek, amelyekre az
x4+ax3+bx2+ax+1=0
egyenletnek van (legalább egy) valós gyöke.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

x4+ax3+bx2+ax+1=0.(1)

I. megoldás. Ha a=a0 és b=b0 olyan valós számok, amelyekre (1)-nek van egy x0 valós gyöke, akkor a=-a0, b=b0 számok is olyanok, hiszen ekkor (1)-nek -x0 is gyöke lesz. Mivel a vizsgálandó a2+b2 kifejezés értéke e két számpárra ugyanaz, feltehetjük, hogy
a0.(2)
(1) bal oldalának értéke x=0 mellett nem 0, tehát (1) gyökei 0-tól különbözőek, és gyökei az (1)-gyel ekvivalens
(x+1x)2+a(x+1x)+b-2=0(3)
egyenletnek is. Ennek viszont akkor és csakis akkor van valós gyöke, ha az
y2+ay+b-2=0(4)x+1x=y(5)


egyenletekből álló rendszernek van valós gyöke.
Rögzített y mellett (5) x-re másodfokú egyenlet, amelynek akkor és csakis akkor van valós gyöke, ha |y|2. Emiatt (3)-nak akkor és csakis akkor van valós gyöke, ha (4)-nek van 2-nél nem kisebb abszolút értékű valós gyöke.
(4) gyökeinek számtani közepe -a2<0, tehát közülük a nagyobb abszolút értékű a kisebbik. Eszerint a keresett feltétel
-a-a2-4b+82-2,
ami ekvivalens a
4-aa2-4b+8
feltétellel. Ha a4, akkor ez nyilván teljesül (feltéve, hogy a jobb oldali gyöknek van értelme), mert a bal oldalon nem pozitív, a jobb oldalon nem negatív szám áll. Az a4 eset azonban a minimumhely keresése szempontjából kizárható, mert ekkor a2+b2a216, és például a=2, b=2 esetén x=-1 megoldása (1)-nek, és ekkor a2+b2=4+4=8<16. Feltehetjük tehát, hogy a<4, ekkor 4-a>0, és így most feltételünk ekvivalens a
(4-a)2a2-4b+8(6)
feltétellel. (Ebből az alakból látható, hogy feltételünk azt is biztosítja, hogy (3)-nak legyen valós gyöke.) (6)-ból a
b2(a-1)(7)
feltételt kapjuk. Azt kell tehát meghatároznunk, hogy a (2) és (7) egyenlőtlenségeknek eleget tevő (a,b) számpárok közül a2+b2 értéke melyikre minimális. Egyenlőtlenségeink az (a,b) koordináta-rendszerben egy-egy félsíkot határoznak meg, (a2+b2) pedig az (a,b) pontra nézve az origótól mért távolságnak a négyzete. Tehát a (2)‐(7) tartománynak az origóhoz legközelebbi pontját keressük: ez az origónak a
b=2(a-1)
egyenesen levő vetülete. A vetület koordinátái a=45, b=-25, tehát a2+b2 minimuma 45.
 

 

Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

 
II. megoldás. Az I. megoldásban láttuk, hogy azokat az (a,b) számpárokat kell vizsgálnunk, amelyekre (4)-nek van 2-nél nem kisebb abszolút értékű valós gyöke. Jelöljük ezt a gyököt u-val: |u|2, és jelöljük (4) másik valós gyökét v-vel. A gyökök és együtthatók összefüggése szerint
a=-u-v,b-2=uv,
tehát
a2+b2=(u+v)2+(uv+2)2=(u2+1)(v+3uu2+1)2+u2+4-9u2(u2+1).

Rögzített u mellett ez akkor minimális, ha az első tag 0, ekkor
a2+b2=(u2+1)+9u2+1-6.
Ennek keressük a minimumát az u24 feltétel mellett. Megmutatjuk, hogy az
f(t)=t+9t-6
függvény monoton nő a t5 szakaszon. Emiatt f(t) a minimumát t=5 mellett veszi fel, és az  f(5)=45 érték egyben a2+b2 minimuma is a vizsgált feltétel mellett. Az f(t) függvény deriváltja
f'(t)=1-9t2
valóban pozitív t5 mellett. Feladatunk megoldását ezzel befejeztük.