A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A mértani sorozat összegére vonatkozó összefüggésből következik, hogy ha természetes szám, akkor | | Emiatt, ha és egész számok és természetes szám, osztható -vel, ha pedig páratlan, akkor osztható -vel. Ezek alapján fogjuk a osztás maradékát a kettes alap alacsonyabb hatványainak -gyel való osztásából kapott maradékaiból meghatározni. A kettes alap első néhány hatványa közül a -ik ad aránylag kis maradékot -gyel osztva: . Az így kapott maradékot tovább hatványozva, az -ik hatvány jut ismét közel egy -gyel osztható számhoz: . Ezekből következik, hogy az | | szám osztható -gyel, hiszen az utóbbi alakjában az első tag osztható -gyel, és mint láttuk, a második tag is osztható -gyel. Mivel az szám osztható -nel, ez az szám is osztható -gyel. Ezt felhasználva kapjuk, hogy | | is osztható -gyel, hiszen az utolsó alakjában az első tagban osztható -gyel, a második tag osztható -gyel, és . Állításunkat ezzel bebizonyítottuk. Megjegyzések. 1. Mivel , ez a szám is osztható -gyel. Ez az állítás következik az ún.,,kis Fermat-tétel''-ből, mely szerint osztható -vel, ha törzsszám, és a -vel nem osztható egész szám. Sokan ezt felhasználva kapták, hogy a osztás maradéka egyenlő a osztás maradékával. De mivel az utóbbi meghatározásához már semmiféle,,nagy ágyút'' nem tudtak előrántani, többnyire ügyetlen, hosszadalmas számolásba keveredtek, és így végül is többet bajlódtak, mintha fel sem használták volna Fermat tételét. 2. Feladatunk kapcsolatos a pontversenyen kívül közölt 198-as problémával, a kapcsolatra annak megoldása során még visszatérünk. |