Feladat: F.1911 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1974/november, 126 - 127. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/január: F.1911

Bizonyítsuk be, hogy 2888-888 osztható 61-gyel.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mértani sorozat összegére vonatkozó összefüggésből következik, hogy ha n természetes szám, akkor

An-Bn=(A-B)(An-1+An-2B+...+Bn-1).
Emiatt, ha A és B egész számok és n természetes szám, An-Bn osztható (A-B)-vel, ha pedig n páratlan, akkor An+Bn=An-(-B)n osztható A-(-B)=(A+B)-vel. Ezek alapján fogjuk a 2888:61 osztás maradékát a kettes alap alacsonyabb hatványainak 61-gyel való osztásából kapott maradékaiból meghatározni.
A kettes alap első néhány hatványa közül a 6-ik ad aránylag kis maradékot 61-gyel osztva: 26=61+3. Az így kapott 3 maradékot tovább hatványozva, az 5-ik hatvány jut ismét közel egy 61-gyel osztható számhoz: 35=461-1. Ezekből következik, hogy az
N=230+130=[(26)5-35]+[35+1]
szám osztható 61-gyel, hiszen az utóbbi alakjában az első tag osztható 26-3=61-gyel, és mint láttuk, a második tag is osztható 61-gyel. Mivel az
M=(230)29+129
szám osztható 230+1=N-nel, ez az M szám is osztható 61-gyel. Ezt felhasználva kapjuk, hogy
2888-888=218(230)29-888=218M-218-888=218M-[(26)3-33]-915
is osztható 61-gyel, hiszen az utolsó alakjában az első tagban M osztható 61-gyel, a második tag osztható 26-3=61-gyel, és 915=6115. Állításunkat ezzel bebizonyítottuk.
 

Megjegyzések. 1. Mivel 260-1=(230-1)(230+1), ez a szám is osztható 61-gyel. Ez az állítás következik az ún.,,kis Fermat-tétel''-ből, mely szerint ap-1-1 osztható p-vel, ha p törzsszám, és a p-vel nem osztható egész szám. Sokan ezt felhasználva kapták, hogy a 2888:61 osztás maradéka egyenlő a 248:61 osztás maradékával. De mivel az utóbbi meghatározásához már semmiféle,,nagy ágyút'' nem tudtak előrántani, többnyire ügyetlen, hosszadalmas számolásba keveredtek, és így végül is többet bajlódtak, mintha fel sem használták volna Fermat tételét.
2. Feladatunk kapcsolatos a pontversenyen kívül közölt 198-as problémával, a kapcsolatra annak megoldása során még visszatérünk.