Feladat:	F.1856	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó Gábor ,  Páles Zsolt
Füzet:	1973/november, 121 - 123. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Vetítések, Ceva-tétel, Koordináta-geometria, Tetraéderek, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/december: F.1856

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{AB}{CD}\right)}^2+{\left(\frac{AC}{BD}\right)}^2+{\left(\frac{AD}{BC}\right)}^2>1.}\end{array}$ (1) Azt fogjuk belátni, hogy az állítás azzal a megszorítással is igaz ‐ amennyiben (1) két oldala közt egyenlőséget is megengedünk ‐, ha $A$ helyére a $BCD$ sík tetszés szerinti pontját írjuk. Ha ugyanis $A$ vetülete e síkon $A\text{'}$, akkor ‐ valódi tetraéder, azaz nem egy síkban levő 4 csúcs esetében ‐ $A\text{'}B<AB$ és $A\text{'}C<AC$ és $A\text{'}D<AD$, tehát $A\text{'}$-t írva $A$ helyére, (1) bal oldala csökken; másrészt a $BCD$ sík bármely pontja lehet egy $ABCD$ tetraéder negyedik csúcsának vetülete. A háromszögeknél szokásos betűzésre áttérve ezt fogjuk tehát bizonyítani: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{P{A}^2}{B{C}^2}+\frac{P{B}^2}{C{A}^2}+\frac{P{C}^2}{A{B}^2}\ge 1\mathrm{,}}\end{array}$ (2) ahol $A$, $B$, $C$ egy valódi ‐ azaz el nem fajult ‐ háromszög csúcsai, $P$ pedig a háromszög síkjának tetszés szerinti pontja. Legyenek egy derékszögű koordináta-rendszerben $A\left(x_A\mathrm{,}{y}_A\right)$, $B\left(x_B\mathrm{,}{y}_B\right)$, $C\left(x_C\mathrm{,}{y}_C\right)$ és $P\left(u\mathrm{,}v\right)$, továbbá legyen rövidítésül $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{B{C}^2}=\frac{1}{a^2}=\alpha \mathrm{,}\frac{1}{C{A}^2}=\frac{1}{b^2}=\beta \mathrm{,}\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{c^2}=\gamma \mathrm{.}}\end{array}$ Ekkor (2) bal oldala így alakítható: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \alpha \left[{\left(u-x_A\right)}^2+{\left(v-y_A\right)}^2\right]+\beta \left[{\left(u-x_B\right)}^2+{\left(v-y_B\right)}^2\right]+\gamma \left[{\left(u-x_C\right)}^2+{\left(v-y_C\right)}^2\right]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\left(\alpha +\beta +\gamma \right)\left(u^2+v^2\right)-2u\left(\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C\right)-2v\left(\alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C\right)+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +\alpha \left(x_A^2+y_A^2\right)+\beta \left(x_B^2+y_B^2\right)+\gamma \left(x_C^2+y_C^2\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\left(\alpha +\beta +\gamma \right)\left[{\left(u-\frac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C}{\alpha +\beta +\gamma }\right)}^2+{\left(v-\frac{\alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C}{\alpha +\beta +\gamma }\right)}^2\right]+\{\alpha \left(x_A^2+y_A^2\right)+}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle +\beta \left(x_B^2+y_B^2\right)+\gamma \left(x_C^2+y_C^2\right)-\frac{{\left(\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C\right)}^2}{\alpha +\beta +\gamma }-\frac{{\left(\alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C\right)}^2}{\alpha +\beta +\gamma }\}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Rögzített $A$, $B$ és $C$, valamint $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ értékek mellett, $P$ helyzetét viszont változtatva, itt csak $u$ és $v$ változik, vagyis a kifejezés első tagja. E tag legkisebb értéke $0$, ti. akkor, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle u=\frac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C}{\alpha +\beta +\gamma }\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">és</span>}v=\frac{\alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C}{\alpha +\beta +\gamma }}\end{array}$ (4) hiszen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ pozitív számok, ezért összegük is pozitív. Így pedig állításunkhoz elég azt belátnunk, hogy (3) további ‐ a kapcsos zárójelben álló ‐ tagjainak összege nem kisebb 1-nél. Ennek az összegnek az átrendezésével az ${\alpha }^2$-et, ${\beta }^2$-et és ${\gamma }^2$-et tartalmazó tagok összege $0$, az $\alpha \beta$ szorzatot tartalmazó tagok, kellő alakítással $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\alpha \beta \left[{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2\right]}{\alpha +\beta +\gamma }=\frac{\alpha \beta \cdot {AB}^2}{\alpha +\beta +\gamma }=\frac{\frac{\alpha \beta }{\gamma }}{\alpha +\beta +\gamma }\mathrm{.}}\end{array}$ (5) A betűk szerepe szimmetrikus, a $\beta \gamma$ és a $\gamma \alpha$ szorzatot tartalmazó tagok hasonlóan alakíthatók, eszerint a (4) koordinátákkal meghatározott pontra vonatkozóan (3) értéke $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\frac{\alpha \beta }{\gamma }+\frac{\beta \gamma }{\alpha }+\frac{\gamma \alpha }{\beta }\right):\alpha +\beta +\gamma \mathrm{,}}\end{array}$ és azt akarjuk belátni, hogy az osztandó nem kisebb az osztónál. Mivel mindkettő pozitív, elég azt belátni, hogy a különbségük pozitív vagy $0$. Ez fele a következő kifejezésnek: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[{\alpha }^2{\left(\beta -\gamma \right)}^2+{\beta }^2{\left(\gamma -\alpha \right)}^2+{\gamma }^2{\left(\alpha -\beta \right)}^2\right]:\alpha \beta \gamma \mathrm{,}}\end{array}$ ami pedig valóban nem lehet negatív, egyenlőség akkor és csakis akkor áll be, ha $\alpha =\beta =\gamma$, speciálisan ha az $ABC$ háromszög egyenlő oldalú. Ezzel állításunkat ‐ és az előrebocsátottak szerint egyben a feladat állítását is ‐ bebizonyítottuk, valódi $ABCD$ tetraéder esetében (1)-ben nem állhat egyenlőség. Még csak azt jegyezzük meg, hogy a (4) koordinátákkal meghatározott pont mindig létezik, (3) változó részének értéke arra a pontra nézve $0$, és ezért az állítás nem élesíthető, vagyis (1) jobb oldalára $\left(1+\epsilon \right)$-t írva, ahol $\epsilon$ pozitív szám, már megadható olyan valódi tetraéder, melyre a módosított állítás nem érvényes.   Páles Zsolt (Sátoraljaújhely, Kossuth L. Gimn., III. o. t.)   Megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy a (4) koordinátákkal megadott pont rajta van az $AB$ oldalt $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta :\alpha =\frac{1}{b^2}:\frac{1}{a^2}}\end{array}$ arányban osztó pontot a $C$ csúccsal összekötő egyenesen, ugyanígy a $BC$-t $\gamma :$ $:\beta$ és a $CA$-t $\alpha :\gamma$ arányban osztó pontot a szemben levő csúccsal összekötő egyenesen. E 3 egyenes Ceva tétele alapján egy ponton megy át, ugyanis $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }\cdot \frac{\gamma }{\beta }\cdot \frac{\alpha }{\gamma }=1.}\end{array}$