Kezdőlap


Feladat:	F.1830	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha Miklós
Füzet:	1973/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Ellipszis egyenlete, Kúpszeletek érintői, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/május: F.1830

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást a koordináta-geometria eljárásaival bizonyítjuk a szokásosan elhelyezett

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, másképpen y = \pm \frac{b}{a} \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} \end{matrix}

(1)

egyenletű ellipszisre, ahol

a > b

, tehát

A B

x

tengely,

C D

y

tengely. (Az

a = b

esetben körrel volna dolgunk, a normális azonos a sugárral,

Q

és

R

egybeesnek, így az állítás semmitmondó.) Legyenek

M

koordinátái (

x_{1}, y_{1}

N

-éi (

x_{2}, y_{2}

), ahol

y_{1} \neq 0

, és

x_{2} \neq 0

, különben ugyanis

M

A

és

B

egyike,

N

C

és

D

egyike lenne és

Q

, ill.

R

nem lenne egyértelműen meghatározott, és ilyen esetben az állításnak nincs is értelme. Így

P

koordinátái

P (x_{1}, y_{2})

Ellipszisünk (

x_{i}, y_{i}

) pontjában, ahol

x_{i} y_{i} \neq 0

, az érintő iránytangense (1)-ből deriválással

\begin{matrix} \mp = \frac{b x_{i}}{a \sqrt[]{a^{2} - x_{i}^{2}}} \end{matrix}

aszerint, hogy

y_{i} > 0

, ill.

y_{i} < 0

, és a négyzetgyököt újra csak (1) alapján kifejezve mindenképpen

\begin{matrix} - \frac{b^{2} x_{i}}{a^{2} y_{i}} . \end{matrix}

Így a normális iránytangense és egyenlete

\begin{matrix} \frac{a^{2} y_{i}}{b^{2} x_{i}}, y - y_{i} = \frac{a^{2} y_{i}}{b^{2} x_{i}} (x - x_{i}), azaz \\ a^{2} y_{i} x - b^{2} x_{i} y - (a^{2} - b^{2}) x_{i} y_{i} = 0. \end{matrix}

Ide

i

helyére

1

-et írva

M

normálisának egyenletét kapjuk, s mivel

Q

ordinátája

0

, ezt behelyettesítve abszcisszája

\begin{matrix} x_{Q} = \frac{(a^{2} - b^{2}) x_{1} y_{1}}{a^{2} y_{1}}, azaz Q (x_{1} - \frac{b^{2}}{a^{2}} x_{1},0), \end{matrix}

és hasonlóan

N

révén, azaz

i = 2

-t, majd

x = 0

-t beírva

\begin{matrix} R (0, y_{2} - \frac{a^{2}}{b^{2}} y_{2}) . \end{matrix}

Megállapodásunk szerint

P

és

Q

abszcisszái különbözőek, hacsak

x_{1} \neq 0

, az általuk meghatározott egyenes iránytangense, valamint egyenlete

\begin{matrix} \frac{a^{2} y_{2}}{b^{2} x_{1}}, y = y_{2} + \frac{a^{2} y_{2}}{b^{2} x_{1}} (x - x_{1}) . \end{matrix}

Erről pedig azonnal látható, hogy

R

koordinátái kielégítik, a

P Q

egyenes átmegy

R

-en, az állítást bebizonyítottuk. (A kizárt

x_{1} = 0

esetben,

M

C

és

D

egyike, tehát a

P Q

egyenes maga az

y

tengely, a kistengely, az állítás igaz.)

Bartha Miklós (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)