Feladat: F.1811 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh Zoltán ,  Horváth Mária ,  Korda Zsuzsa 
Füzet: 1973/március, 102 - 103. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/február: F.1811

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldal tekinthető egy p tagú mértani sorozat összegének. Könnyen látható ez, miután a törtet bővítjük az x2p/q hatvánnyal és bevezetjük az x1/q=u és y1/q=v jelöléseket (tehát u és v is pozitív számok):

xp/q-yp/qx1/q-y1/q=up-vpu-v=up-1(vu)F-1vu-1=up-1+up-2v+...+uvp-2+vp-1.(2)



Új jelölésünkkel a jobb oldal p(uv)p-1/2.
p=1 esetében mindkét oldal értéke 1, ekkor tehát az állításbeli egyenlőtlenség helyett egyenlőség érvényes. (A bal oldalra már (2) második alakjából látható, hogy p=1 esetében 1-gyel egyenlő, hiszen az x≠y föltevés alapján u≠v.) Ezt figyelembe véve a p≧2 megszorítással fogjuk bizonyítani a fenti átalakítások alapján osztással adódó, az eredetivel ekvivalens alábbi állítást:
(uv)p-12+(uv)p-32+...+(vu)p-32+(vu)p-12>p,(3)
ahol az u/v≠1, pozitív szám.
A bal oldal elölről és hátulról számított ugyanazon sorszámú tagjai egymás reciprokai. Az ilyen 2 ‐ 2 tagot 1 ‐ 1 párba kapcsolva, mindegyik pár összege nagyobb 2-nél, ugyanis ha c az 1-től különböző pozitív szám, akkor
c+1c=c2+1c=(c-1)2c+2>2.(4)

Eszerint ha p páros: p=2k, akkor a párok száma k, és így a B bal oldal nagyobb 2k-nál, tehát (3) érvényes. Ha pedig p páratlan: p=2k+1, akkor is k számú párt kapunk és B-nek középső, pár nélkül maradó tagja 1, tehát B>1+2k=p.
Azt bizonyítottuk tehát be, hogy ha x≠y pozitív számok, p természetes szám, továbbá q≠0, racionális szám, akkor
x-p/q-yp/q⋅x-2p/qx(1-2p)/q-y1/q⋅x-2p/q≧p(xy)(p-1)/2q

és egyenlőség csak p=1 esetén teljesül (ugyanis a q értékkészletének most mondott bővítése még mindig biztosítja az u, v pozitív számok létezését).
 

 Balogh Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)
 

II. megoldás. A fenti átalakítások után úgy is kapunk (1)-gyel ekvivalens állítást, ha a két oldalt p-vel osztjuk:
1p(up-1+up-2v+...+vp-1)>(uv)(p-1)/2.
Ez pedig igaz a p számú, különböző pozitív szám számtani és mértani közepére ismert egyenlőtlenség alapján, ugyanis a bal oldali zárójelbeli tagok szorzatában u és v kitevője egyaránt
(p-1)+(p-2)+...+1+0=p⋅p-12,
és innen a p tényező a mértani közepet előállító gyökvonással tűnik el.
 

 Horváth Mária (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., III. o. t.)
 Korda Zsuzsa (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. Lényegében (4)-ben is a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget használtuk fel, 2 tagra.