|
Feladat: |
F.1808 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bálint László , Balogh Zoltán , Bara Tamás , Bartha Miklós , Bartolits István , Bezdek Károly , Blahó Ágnes , Bodnár István , Breuer Péter , Burda Magdolna , Császár Gyula , Csetényi Artúr , Gál Péter , Gergely István , Grácin Edit , Horváth László , Józsa István , Kartaly Béla , Kasza Júlia , Kémeri Viktória , Kiss György , Kollár István , Kovács István , Lukács Gábor , Molnár József , Oláh Vera , Pálffy László , Pataki Béla , Pintér Ferenc , Rátkai Attila , Salamon Endre , Sebő András , Sztachó Balázs , Tari János , Vermes András , Visnyovszki Béla , Vörös Zoltán , Wettl Ferenc |
Füzet: |
1974/november,
116 - 118. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Ábrázoló geometria, Tengelyes tükrözés, Eltolás, Tengely körüli forgatás, Merőleges affinitás, Vetítések, Térelemek és részeik, Szerkesztések a térben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1972/január: F.1808 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Jelöljük a sokszög síkját -sel, a képsíkrendszer síkjait gyel és -vel, és metszésvonalát -vel.
tetszőleges pontján át fektessünk -re merőleges síkot ez tartalmazza a pont és képsíkokon levő merőleges vetületeit és a képsíkokat -re merőleges , egyenesekben metszi. -nek az -be való beforgatása után a -ből kapott egyenes azonos lesz a egyenessel, és ez a egyenes átmegy a pont és képein. Ha tehát tetszőleges pontjához megkeressük -nek azt a pontját, amelyiknek az első képe, és -höz második képét rendeljük hozzá, akkor -ben olyan ponttranszformációt hoztunk létre, amelyben a megfelelő pontpárok ugyanazon az -re merőleges egyenesen vannak rajta. Ez a transzformáció tetszőleges -beli pontból kiindulva végrehajtható, hiszen a -ben -re emelt merőleges mindig metszi -t, mert feltevésünk szerint nem merőleges -re. Mivel re sem merőleges, tetszőleges pontjából kiindulva a transzformáció a fordított irányban is egyértelműen elvégezhető. Meg kell még keresnünk azt az egyenest -ben, amelyet a most létrehozott megfeleltetés szerint összetartozó egyenesek ugyanabban a pontban metszenek. tetszőleges egyeneséhez keressük meg -en azt az egyenest, amelynek az első képe (azaz tekintsük az -n át -re emelt merőleges sík és metszésvonalát), és jelöljük második képét -vel: ez az -nek megfeleltetett egyenes. Ha és metszi egymást egy pontban, ez a metszéspont -nek olyan pontját határozza meg, amelynek -en és -n levő és vetületei a beforgatás során fedésbe kerülnek. miatt az , síkoktól egyenlő távolságra van, tehát rajta van e síkok valamelyik szögfelező síkján. A képsíkok által létrehozott térnegyedeket a szokásos módon I‐IV-ig számozva elmondhatjuk, hogy az I. és III. térnegyedbeli pontok képei ellentétes oldalára kerülnek, tehát csak a II. és IV. térnegyedben levő szögfelező síkon lehet rajta. Ennek a síknak tetszőleges pontjára , és így az pont és képei azonos oldalán és -től egyenlő távolságra, vannak, tehát azonosak. Ezzel beláttuk, hogy tetszőleges egymást metsző megfelelő , egyenespár metszéspontja valamely pontjának a képe, tehát rajta van és metszésvonalának képén (természetesen is azonos -vel). Közben az is kiderült, hogy ha egyáltalán van metsző egyenespár, akkor és metszi egymást, a metszésvonalukból kapott egyenest a megfelelő egyenesek ugyanabban a pontban metszik. Ebből következik, hogy és akkor és csak akkor lehet párhuzamos, ha a megfelelő egyenesek párhuzamosak. A feladat első részében mondott állításokat ezzel bebizonyítottuk. b) A szóban forgó ponttranszformáció akkor merőleges affinitás, ha a tengelye létrejön, és párhuzamos -vel, hiszen ha , akkor , és így , ha pedig , akkor az -n átmenő -t -vel párhuzamos egyenesben metszi. Ekkor is merőleges az -re merőleges síkra (a szokásos harmadik képsíkra), és az affinitás az , síkok metszésvonalához -t rendeli. -nek akkor és csak akkor lesz az -re vonatkozó tükörképe , ha az , , egyenesek -on levő döféspontjai egyenlő szárú derékszögű háromszöget határoznak meg, vagyis ha . Ez az eset tehát, amikor az affinitás tükrözés. Mint láttuk, eltolás akkor lesz a transzformáció, ha nem jön létre, azaz . Ha azonos -fel, akkor az eltolás helybenhagyás, azaz a megfelelő pontjaik azonosak. Megjegyzés. A feladat a) része kissé pontatlanul fogalmazta meg az affinitást, a fenti megoldásban a következő definíciót használtuk. Affinitásnak nevezzük a sík mindazon kölcsönösen egyértelmű ponttranszformációit, amelyek az egy egyenesen levő pontokhoz egy egyenesen levő pontokat rendelnek, és amelyekre teljesül a következő két állítás: i) van olyan irány a síkon, amellyel tetszőleges ponton át párhuzamost húzva, a pont képén keresztül átmenő egyenest kapunk (esetünkben ez az -re merőleges irány volt); ii) vagy van olyan egyenes a síkon, amelyiket a megfelelő egyenesek ugyanabban a pontban metszenek, vagy a megfelelő egyenesek párhuzamosak (esetünkben szerepét játszotta). Feladatunk szövege nem zárja ki azt az esetet, hogy bizonyos megfelelő egyenespárok a tengelyen messék egymást, mások pedig párhuzamosak legyenek. Könnyen látható azonban, hogy ez sohasem fordulhat elő, ha a ponttranszformációra a feladatban mondott tulajdonság teljesül. Az is könnyen látható, hogy ha a megfelelő egyenesek párhuzamosak, akkor mindig eltolásról van szó. |
|