Feladat: F.1808 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bálint László ,  Balogh Zoltán ,  Bara Tamás ,  Bartha Miklós ,  Bartolits István ,  Bezdek Károly ,  Blahó Ágnes ,  Bodnár István ,  Breuer Péter ,  Burda Magdolna ,  Császár Gyula ,  Csetényi Artúr ,  Gál Péter ,  Gergely István ,  Grácin Edit ,  Horváth László ,  Józsa István ,  Kartaly Béla ,  Kasza Júlia ,  Kémeri Viktória ,  Kiss György ,  Kollár István ,  Kovács István ,  Lukács Gábor ,  Molnár József ,  Oláh Vera ,  Pálffy László ,  Pataki Béla ,  Pintér Ferenc ,  Rátkai Attila ,  Salamon Endre ,  Sebő András ,  Sztachó Balázs ,  Tari János ,  Vermes András ,  Visnyovszki Béla ,  Vörös Zoltán ,  Wettl Ferenc 
Füzet: 1974/november, 116 - 118. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ábrázoló geometria, Tengelyes tükrözés, Eltolás, Tengely körüli forgatás, Merőleges affinitás, Vetítések, Térelemek és részeik, Szerkesztések a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/január: F.1808

a) Egy sokszöget ábrázoltunk a Monge‐féle képsíkrendszerben, majd a képsíkokat a szokásos forgatással egyesítettük. Mutassuk meg, hogy ha a sokszög síkja nem merőleges egyik képsíkra sem, akkor van olyan affinitás, melyben a sokszög 1. és 2. képe egymásnak megfelelői (azaz a megfelelő pontokat összekötő egyenesek párhuzamosak egymással és az egymásnak megfelelő ‐ és egymást metsző ‐ egyenesek metszéspontjai egy egyenesen vannak).
b) Milyen helyzetű a sokszög síkja a képsíkrendszerhez képest a következő három esetben?
 

1. Az affinitás merőleges.
2. A két kép átvihető egymásba tükrözéssel.
3. A két kép átvihető egymásba transzlációval (eltolással).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Jelöljük a sokszög síkját S-sel, a képsíkrendszer síkjait S1 gyel és S2-vel, S1 és S2 metszésvonalát x12-vel.

 

 

S tetszőleges P pontján át fektessünk x12-re merőleges V síkot ez tartalmazza a P pont S1 és S2 képsíkokon levő merőleges vetületeit és a képsíkokat x12-re merőleges v1, v2 egyenesekben metszi. S2-nek az S1-be való beforgatása után a v2-ből kapott v egyenes azonos lesz a v1 egyenessel, és ez a v egyenes átmegy a P pont P'=P1 és P'' képein. Ha tehát S1 tetszőleges P pontjához megkeressük S-nek azt a P pontját, amelyiknek P' az első képe, és P'-höz P második képét rendeljük hozzá, akkor S1-ben olyan ponttranszformációt hoztunk létre, amelyben a megfelelő P'P'' pontpárok ugyanazon az x12-re merőleges v egyenesen vannak rajta. Ez a transzformáció tetszőleges S1-beli P' pontból kiindulva végrehajtható, hiszen a P'-ben S1-re emelt merőleges mindig metszi S-t, mert feltevésünk szerint S nem merőleges S1-re. Mivel S S2 re sem merőleges, S1 tetszőleges P'' pontjából kiindulva a transzformáció a fordított irányban is egyértelműen elvégezhető.
Meg kell még keresnünk azt az egyenest S1-ben, amelyet a most létrehozott megfeleltetés szerint összetartozó egyenesek ugyanabban a pontban metszenek. S1 tetszőleges e' egyeneséhez keressük meg S-en azt az e egyenest, amelynek e' az első képe (azaz tekintsük az e'-n át S1-re emelt merőleges sík és S metszésvonalát), és jelöljük e második képét e''-vel: ez az e'-nek megfeleltetett egyenes. Ha e' és e'' metszi egymást egy M'=M'' pontban, ez a metszéspont S-nek olyan M pontját határozza meg, amelynek S1-en és S2-n levő M1 és M2 vetületei a beforgatás során fedésbe kerülnek. MM1=MM2 miatt M az S1, S2 síkoktól egyenlő távolságra van, tehát rajta van e síkok valamelyik szögfelező síkján. A képsíkok által létrehozott térnegyedeket a szokásos módon I‐IV-ig számozva elmondhatjuk, hogy az I. és III. térnegyedbeli pontok képei x1,2 ellentétes oldalára kerülnek, M tehát csak a II. és IV. térnegyedben levő F szögfelező síkon lehet rajta. Ennek a síknak tetszőleges M pontjára MM1=MM2, és így az M pont M' és M'' képei x1,2 azonos oldalán és x1,2-től egyenlő távolságra, vannak, tehát azonosak.
Ezzel beláttuk, hogy tetszőleges egymást metsző megfelelő e', e'' egyenespár M' metszéspontja F valamely M pontjának a képe, M' tehát rajta van S és Fm metszésvonalának m' képén (természetesen m'' is azonos m'-vel). Közben az is kiderült, hogy ha egyáltalán van metsző egyenespár, akkor S és F metszi egymást, a metszésvonalukból kapott m' egyenest a megfelelő egyenesek ugyanabban a pontban metszik. Ebből következik, hogy S és F akkor és csak akkor lehet párhuzamos, ha a megfelelő egyenesek párhuzamosak. A feladat első részében mondott állításokat ezzel bebizonyítottuk.
b) A szóban forgó ponttranszformáció akkor merőleges affinitás, ha a tengelye m' létrejön, és párhuzamos x1,2-vel, hiszen ha m'x1,2, akkor mx1,2, és így Sx1,2, ha pedig Sx1,2, akkor az x1,2-n átmenő F-t x1,2-vel párhuzamos egyenesben metszi. Ekkor S is merőleges az x1,2-re merőleges S3 síkra (a szokásos harmadik képsíkra), és az affinitás az S, S1 síkok f metszésvonalához x1,2-t rendeli. f-nek akkor és csak akkor lesz az m'-re vonatkozó tükörképe x1,2, ha az f, m, x1,2 egyenesek S3-on levő döféspontjai egyenlő szárú derékszögű háromszöget határoznak meg, vagyis ha SF. Ez az eset tehát, amikor az affinitás tükrözés. Mint láttuk, eltolás akkor lesz a transzformáció, ha m nem jön létre, azaz SF. Ha S azonos F-fel, akkor az eltolás helybenhagyás, azaz a megfelelő pontjaik azonosak.
 

Megjegyzés. A feladat a) része kissé pontatlanul fogalmazta meg az affinitást, a fenti megoldásban a következő definíciót használtuk. Affinitásnak nevezzük a sík mindazon f kölcsönösen egyértelmű ponttranszformációit, amelyek az egy egyenesen levő pontokhoz egy egyenesen levő pontokat rendelnek, és amelyekre teljesül a következő két állítás:
i) van olyan n irány a síkon, amellyel tetszőleges P ponton át párhuzamost húzva, a P pont f(P) képén keresztül átmenő egyenest kapunk (esetünkben ez az x1,2-re merőleges irány volt);
ii) vagy van olyan t egyenes a síkon, amelyiket a megfelelő egyenesek ugyanabban a pontban metszenek, vagy a megfelelő egyenesek párhuzamosak (esetünkben t szerepét m játszotta).
Feladatunk szövege nem zárja ki azt az esetet, hogy bizonyos megfelelő egyenespárok a t tengelyen messék egymást, mások pedig párhuzamosak legyenek. Könnyen látható azonban, hogy ez sohasem fordulhat elő, ha a ponttranszformációra a feladatban mondott tulajdonság teljesül. Az is könnyen látható, hogy ha a megfelelő egyenesek párhuzamosak, akkor mindig eltolásról van szó.