Kezdőlap


Feladat:	F.1804	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csetényi Artúr
Füzet:	1972/október, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Játékelmélet, játékok, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/január: F.1804

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Vizsgáljuk meg először, mik a játék lehetséges kimenetelei. A játékos kaphat két vagy három lapot egymás után, tehát a lehetséges esetek bizonyos kettes vagy bizonyos hármas hosszúságú húzássorozatok. Az, hogy a játékos véletlenszerűen húzza a lapokat a csomagból, azt jelenti, hogy az első két húzás eredményére adódó $18 \cdot 17$ különböző eredmény mind egyformán valószínű, mindegyiknek a valószínűsége $1 / (18 \cdot 17)$ . Így van ez, akár felbontható az illető esemény további események összegére (mint például a kőr 2-es, pikk 3-as húzását jelentő esemény 16 kisebb eseményre bontható aszerint, hogy a még ki nem húzott 16 lap közül melyiket húzzuk harmadiknak), akár nem (mint pl. a treff 5-ös, kör 3-as húzása). Ugyancsak a véletlenszerűségből következik, hogy ha egy ilyen húzáspár tovább bontható húzás-hármasokra, akkor e részek ismét egyformán valószínűek, mindegyiknek a valószínűsége a húzáspár valószínűségének a 16-od része (hiszen az ilyen húzás-hármasok 16-osával állnak össze egy-egy, az első két húzás eredményét megszabó nagyobb eseménnyé).
A játék kimeneteleiből álló eseménytérnek tehát kétféle elemi eseményei vannak: "nagyobbak'' ‐ ezek valószínűsége 1/( $18 \cdot 17$ ), és "kisebbek'' ‐ ezek valószínűsége 1/( $18 \cdot 17 \cdot 16$ ). A játékos számára mindkettő között vannak kedvezőek, ezek valószínűségeit fogjuk összegezni.

b) Nyer a játékos, ha az első két húzás eredményének az összege 7. Magát a 7-es számot három lényegesen különböző módon állíthatjuk elő két, a lapokon előforduló szám összegeként:

\begin{matrix} 7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3. \end{matrix}

Mindegyik előállításban 3‐3-féleképpen választhatjuk meg a lapok színét, és 2-féleképpen a lapok sorrendjét. A "nagy'' kedvező elemi események tehát

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2

, így ezek valószínűségeinek az összege:

\begin{matrix} p_{1} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2}{18 \cdot 17} = \frac{3}{17} . \end{matrix}

c) Háromtagú összegre négyféleképpen bonthatjuk a 7-et:

\begin{matrix} 7 = 5 + 1 + 1 = 4 + 2 + 1 = 3 + 3 + 1 = 3 + 2 + 2. \end{matrix}

Ezek közül azoknak, amelyekben két egyenlő tag van,

3 \cdot (\binom{3}{2}) \cdot 6

"kisebb'' elemi esemény felel meg, mert az egyedül szereplő szám színét 3-féleképpen, a kétszer szereplő szám színeit

(\binom{3}{2})

-féleképpen, a három lap sorrendjét

3! = 6

-féleképpen választhatjuk meg.
Egyetlen olyan háromtagú felbontása van a 7-nek, melyben különböző tagok szerepelnek. Ennek

3^{3} \cdot 6

"kisebb'' elemi esemény felel meg, hiszen mindegyik szám színét 3-féleképpen választhatjuk meg, a sorrendet pedig ismét 6-féleképpen.
Ezek szerint a kedvező "kisebb'' elemi események valószínűségeinek az összege

\begin{matrix} p_{2} = \frac{1}{18 \cdot 17 \cdot 16} {3 \cdot 3 \cdot (\binom{3}{2}) \cdot 6 + 3^{3} \cdot 6} = \frac{2 \cdot 9}{17 \cdot 16} = \frac{9}{136} . \end{matrix}

d) A játékos tehát

\begin{matrix} p = p_{1} + p_{2} = \frac{3}{17} + \frac{9}{136} = \frac{33}{136} = 0, 243 \end{matrix}

valószínűséggel nyer.

Csetényi Artúr (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A két lappal való nyerésre talált 3/17 valószínűséget egyszerűbben is megkaphatjuk: bármi legyen is az első húzás eredménye, a játékos még nem állhat vesztésre, és a visszamaradó 17 lap között mindig pontosan 3 olyan van, amelyik 7-re egészíti ki az első lapon levő számot.

2. Talán zavaró, hogy a b) és c) esetekben más az összes eset száma. Ez annak felel meg, hogy nem ugyanazt a valószínűségi mezőt vettük alapul a két részben. Ez a sokszor kényelmes egyszerűsítés megengedhető, ha világosan látjuk, hogy a közös mező tulajdonképpen a következő: egymás után húzunk három lapot, és kedvező az a két eset, amikor az első kettő összege 7, vagy a három lap összege 7.