Feladat: F.1804 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csetényi Artúr 
Füzet: 1972/október, 59 - 60. oldal  PDF file
Témakör(ök): Játékelmélet, játékok, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/január: F.1804

Egy bridzskártya csomagból ketten kivették a treff, kör, pikk színek 1-től 6-ig számozott lapjait és ezzel a 18 kártyával a következő szabály szerint játszanak. A játékos először két lapot húz a bankár kezében levő csomagból. Ha a kihúzott lapokon levő számok összege 7, akkor nyert, ha nagyobb, mint 7, akkor vesztett, ha pedig kisebb 7-nél, akkor húz egy harmadik lapot, és csak akkor nyer, ha az új szám az első kettő összegét 7-re egészíti ki. Mi a valószínűsége, hogy a játékos nyer?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Vizsgáljuk meg először, mik a játék lehetséges kimenetelei. A játékos kaphat két vagy három lapot egymás után, tehát a lehetséges esetek bizonyos kettes vagy bizonyos hármas hosszúságú húzássorozatok. Az, hogy a játékos véletlenszerűen húzza a lapokat a csomagból, azt jelenti, hogy az első két húzás eredményére adódó 1817 különböző eredmény mind egyformán valószínű, mindegyiknek a valószínűsége 1/(1817). Így van ez, akár felbontható az illető esemény további események összegére (mint például a kőr 2-es, pikk 3-as húzását jelentő esemény 16 kisebb eseményre bontható aszerint, hogy a még ki nem húzott 16 lap közül melyiket húzzuk harmadiknak), akár nem (mint pl. a treff 5-ös, kör 3-as húzása). Ugyancsak a véletlenszerűségből következik, hogy ha egy ilyen húzáspár tovább bontható húzás-hármasokra, akkor e részek ismét egyformán valószínűek, mindegyiknek a valószínűsége a húzáspár valószínűségének a 16-od része (hiszen az ilyen húzás-hármasok 16-osával állnak össze egy-egy, az első két húzás eredményét megszabó nagyobb eseménnyé).
A játék kimeneteleiből álló eseménytérnek tehát kétféle elemi eseményei vannak: "nagyobbak'' ‐ ezek valószínűsége 1/(1817), és "kisebbek'' ‐ ezek valószínűsége 1/(181716). A játékos számára mindkettő között vannak kedvezőek, ezek valószínűségeit fogjuk összegezni.

 

b) Nyer a játékos, ha az első két húzás eredményének az összege 7. Magát a 7-es számot három lényegesen különböző módon állíthatjuk elő két, a lapokon előforduló szám összegeként:
7=6+1=5+2=4+3.
Mindegyik előállításban 3‐3-féleképpen választhatjuk meg a lapok színét, és 2-féleképpen a lapok sorrendjét. A "nagy'' kedvező elemi események tehát 3332, így ezek valószínűségeinek az összege:
p1=33321817=317.

c) Háromtagú összegre négyféleképpen bonthatjuk a 7-et:
7=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2.
Ezek közül azoknak, amelyekben két egyenlő tag van, 3(32)6 "kisebb'' elemi esemény felel meg, mert az egyedül szereplő szám színét 3-féleképpen, a kétszer szereplő szám színeit (32)-féleképpen, a három lap sorrendjét 3!=6-féleképpen választhatjuk meg.
Egyetlen olyan háromtagú felbontása van a 7-nek, melyben különböző tagok szerepelnek. Ennek 336 "kisebb'' elemi esemény felel meg, hiszen mindegyik szám színét 3-féleképpen választhatjuk meg, a sorrendet pedig ismét 6-féleképpen.
Ezek szerint a kedvező "kisebb'' elemi események valószínűségeinek az összege
p2=1181716{33(32)6+336}=291716=9136.

d) A játékos tehát
p=p1+p2=317+9136=33136=0,243
valószínűséggel nyer.
Csetényi Artúr (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A két lappal való nyerésre talált 3/17 valószínűséget egyszerűbben is megkaphatjuk: bármi legyen is az első húzás eredménye, a játékos még nem állhat vesztésre, és a visszamaradó 17 lap között mindig pontosan 3 olyan van, amelyik 7-re egészíti ki az első lapon levő számot.
 

2. Talán zavaró, hogy a b) és c) esetekben más az összes eset száma. Ez annak felel meg, hogy nem ugyanazt a valószínűségi mezőt vettük alapul a két részben. Ez a sokszor kényelmes egyszerűsítés megengedhető, ha világosan látjuk, hogy a közös mező tulajdonképpen a következő: egymás után húzunk három lapot, és kedvező az a két eset, amikor az első kettő összege 7, vagy a három lap összege 7.