Kezdőlap


Feladat:	F.1797	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Katona Klára , Lukács Éva
Füzet:	1972/szeptember, 8 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Négyszög alapú egyéb hasábok, Térfogat, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/december: F.1797

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kiindulási alapnégyzet $A B C D = N$ , a teljes alapidom két egymás utáni oldala $A A_{1}$ , és $A_{1} B$ , és $N$ középpontja $O$ . Vizsgáljuk először az építendő $T$ tárolónak az $A O B$ szögtartomány fölötti részét, jelöljük ezt $T_{1}$ - gyel.

Legyen

O A_{1} A ∢ = x

, ekkor (

O A = \sqrt[]{2}

alapján)

\begin{matrix} A A_{1} = \frac{O A sin 45^{\circ}}{sin x} = \frac{1}{sin x}, \end{matrix}

\begin{matrix} O A_{1} = O F + F A_{1} = 1 + ctg x, \end{matrix}

ahol

F

A B

oldal felezőpontja. Ezek szerint

T_{1}

térfogata

\begin{matrix} V_{1} = 2 \frac{O A_{1} \cdot A B}{2} = 2 (1 + ctg x), \end{matrix}

és

T_{1}

megépítendő határoló lapjainak az összterülete

\begin{matrix} F_{1} = 2 \cdot \frac{O A_{1} \cdot A B}{2} + 2 (A A_{1} + A_{1} B) = 2 (1 + ctg x) + \frac{4}{sin x} . \end{matrix}

A tároló

T_{1}

részének a megépítéséből származó haszon (egységül ezer forintot választva):

\begin{matrix} H_{1} = H_{1} (x) = 2, 5 V_{1} - F_{1} = 3 (1 + ctg x) - \frac{4}{sin x} . \end{matrix}

A feladat szövege szerint ez a függvény a

0 < x < 135^{\circ}

tartományban van értelmezve, és a deriváltja

\begin{matrix} H'_{1} (x) = - \frac{3}{sin^{2} x} + \frac{4 cos x}{sin^{2} x} = 4 \frac{cos x - \frac{3}{4}}{sin^{2} x} . \end{matrix}

0

-val egyenlő, ha

cos x = 3 / 4

, azaz

x = 41^{\circ} 25'

. Ha

x < 41^{\circ} 25'

, akkor

cos x > 3 / 4

, és

H'_{1} (x) > 0

, ha pedig

x > 41^{\circ} 25'

, akkor

H'_{1} (x) < 0

, tehát

H_{1} (x)

-nek az

x_{0} = 41^{\circ} 25'

helyen maximuma van. (Ekkor az

A_{1}

pont

N

-en kívül van.)
Hasonló eredményre vezet a

T

tárolónak a

B O C

C O D

D O A

szögtartományok feletti részének a vizsgálata; e részek építéséből származó haszon rendre csak az

O B_{1} B,

O C_{1} C,

O D_{1} D

szögektől függ, és egymástól függetlenül akkor maximális, ha

O B_{1} B ∢ = O C_{1} C ∢ = O D_{1} D ∢ = 41^{\circ} 25'

. Ekkor

O A_{1} = O B_{1} = O C_{1} = O D_{1} = 2, 13 m

, és az építkezés teljes haszna

4 H_{1} (x_{0}) = 1416 Ft

Lukács Éva (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o. t.)

Katona Klára (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)