Kezdőlap


Feladat:	F.1779	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/március, 108 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/szeptember: F.1779

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$x = 0$ egész szám, és $P (0) = a_{0}$ ; a feltevés szerint viszont az oszthatósági kapcsolat ismert jelölésével:^{$^{*}$}

\begin{matrix} 7 | P (0), tehát 7 | a_{0}, \end{matrix}

(2)

ami az állításnak az utolsó együtthatóra vonatkozó része.
A továbbiakban ismételten felhasználjuk a következő két segédtételt:
I. Ha

7 | b

és

7 | c

, akkor

\begin{matrix} 7 | (b + c) és 7 | (b - c) . \end{matrix}

Valóban,

\begin{matrix} \frac{b \pm c}{7} = \frac{b}{7} \pm \frac{c}{7}, \end{matrix}

a jobb oldal mindkét tagja feltevésünk szerint egész szám, másrészt pedig két egész szám összege is, különbsége is egész szám. Eredményünket ebben az alakban is fogjuk alkalmazni: ha

7 | (b + c)

és

7 | b

, akkor

7 | c

(vagyis az első feltételből a 7-tel osztható

b

elhagyható).

II. Ha egy szorzat osztható egy olyan

c

(egész) számmal, amely a szorzat egyik tényezőjéhez relatív prím, akkor a szorzat másik tényezője osztható

c

-vel.^{$^{*}$}
Mármost, ha

x

egész szám, akkor

(- x)

is egész, így

7 | P (x)

7 | P (- x)

, és az I. segédtétel alapján következik, hogy:

\begin{matrix} 7 | {P (x) - P (- x)} = 2 x (a_{5} x^{4} + a_{3} x^{2} + a_{1}), \end{matrix}

(3)

ugyanis a különbségből az

x

páros kitevőjű hatványait tartalmazó tagok kiesnek,

a_{0}

is. Innen

x = 1

, 2 és 4 helyettesítéssel és mindjárt figyelembe véve, hogy

2 x = 2

, 4 és 8 mindegyike relatív prím 7-hez, a II. segédtétel alapján:

\begin{matrix} 7 | 2 (a_{5} + a_{3} + a_{1}), & tehát & (4) & 7 | (a_{5} + a_{3} + a_{1}), \\ 7 | 4 (16 a_{5} + 4 a_{3} + a_{1}), & tehát & (5) & 7 | (16 a_{5} + 4 a_{3} + a_{1}), \\ 7 | 8 (256 a_{5} + 16 a_{3} + a_{1}), & tehát & 7 | (256 a_{3} + 16 a_{3} + a_{1}) . \end{matrix}

A jobb oldali három kapcsolatból I. alapján összeadással, majd II. alapján, végül I. alapján kivonással

7 | (273 a_{5} + 21 a_{3} + 3 a_{1}) = 3 {7 (13 a_{5} + a_{3}) + a_{1}}

7 | {7 (13 a_{5} + a_{3}) + a_{1}}

, mert 3 és 7 relatív prímek, tehát

\begin{matrix} 7 | a_{1} . \end{matrix}

(6)

Ennek alapján (4) és (5) így alakul:

\begin{matrix} 7 | (a_{5} + a_{3}), 7 | (16 a_{5} + 4 a_{3}), \end{matrix}

'

)

és tovább a fentiekhez hasonlóan

\begin{matrix} 7 | {(16 a_{5} + 4 a_{3}) - (a_{5} + a_{3}) - (a_{5} + a_{3})} = 7 (2 a_{5}) + 2 a_{3}, \\ 7 | 2 a_{3}, \end{matrix}

\begin{matrix} 7 | a_{3}, \end{matrix}

(7)

végül ezt

(4')

-vel együtt figyelembe véve

\begin{matrix} 7 | a_{5} . \end{matrix}

(8)

A (6), (7), (8) és (2) eredmények az állítás bizonyítását jelentik

P (x) - P (- x)

különbségben fellépő együtthatókra és

a_{0}

-ra.
Ezzel pedig a hátralevő együtthatókra is megadtuk a bizonyítást, hiszen a föltevés és (2) alapján

\begin{matrix} 7 | {P (x) + P (- x) - 2 P (0)} = 2 x^{2} (a_{6} x^{4} + a_{4} x^{2} + a_{2}), \end{matrix}

ugyanis az összegben

x

páratlan kitevős hatványai kiestek, és ismét az

x = 1

, 2 és 4 értékeket véve az utóbbi alakból a

2 x^{2}

tényező II. alapján elmarad, ez után pedig a maradó több tagú lényegében azonos a (3)-beli többtagúval.

Megjegyzések. 1. Az

a_{6} = a_{5} = a_{4} = a_{3} = a_{0} = 0

a_{2} = a_{1} = 7 / 2

együttható‐rendszer példát ad olyan polinomra, amelynek értéke minden egész

x

mellett 7-tel osztható egész szám, együtthatói viszont nem mind egész számok, ennélfogva rá az eredeti kitűzés állítása nem igaz.
2. Hetedfokú egyenletre már nem volna igaz a helyesbített feladat állítása. Ugyanis az

x^{7} - x

polinom együtthatói egész számok, a polinom értéke minden egész

x

helyen osztható 7-tel, viszont nem minden együtthatója osztható 7-tel (csak a ki nem írt, 0 értékű együtthatói).

^{$^{*}$}Lásd Horvay Katalin‐Pálmay Lóránt: Matematika a gimn. I. oszt. számára. 4. kiadás. Tankönyvkiadó. Budapest, 1969. 110.old.

^{$^{*}$}A bizonyítás megtalálható pl. a következő középiskolai szakköri füzetben, a 18‐26. oldalakon: Faragó László: A számelmélet elemei. 2. kiadás. Tankönyvkiadó. Budapest. 1967.