A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. egész szám, és ; a feltevés szerint viszont az oszthatósági kapcsolat ismert jelölésével: ami az állításnak az utolsó együtthatóra vonatkozó része. A továbbiakban ismételten felhasználjuk a következő két segédtételt: I. Ha és , akkor Valóban, a jobb oldal mindkét tagja feltevésünk szerint egész szám, másrészt pedig két egész szám összege is, különbsége is egész szám. Eredményünket ebben az alakban is fogjuk alkalmazni: ha és , akkor (vagyis az első feltételből a 7-tel osztható elhagyható). II. Ha egy szorzat osztható egy olyan (egész) számmal, amely a szorzat egyik tényezőjéhez relatív prím, akkor a szorzat másik tényezője osztható -vel. Mármost, ha egész szám, akkor is egész, így , , és az I. segédtétel alapján következik, hogy: | | (3) | ugyanis a különbségből az páros kitevőjű hatványait tartalmazó tagok kiesnek, is. Innen , 2 és 4 helyettesítéssel és mindjárt figyelembe véve, hogy , 4 és 8 mindegyike relatív prím 7-hez, a II. segédtétel alapján:
A jobb oldali három kapcsolatból I. alapján összeadással, majd II. alapján, végül I. alapján kivonással
,
, mert 3 és 7 relatív prímek, tehát Ennek alapján (4) és (5) így alakul: | | (4) | és tovább a fentiekhez hasonlóan
végül ezt -vel együtt figyelembe véve A (6), (7), (8) és (2) eredmények az állítás bizonyítását jelentik különbségben fellépő együtthatókra és -ra. Ezzel pedig a hátralevő együtthatókra is megadtuk a bizonyítást, hiszen a föltevés és (2) alapján | | ugyanis az összegben páratlan kitevős hatványai kiestek, és ismét az , 2 és 4 értékeket véve az utóbbi alakból a tényező II. alapján elmarad, ez után pedig a maradó több tagú lényegében azonos a (3)-beli többtagúval. Megjegyzések. 1. Az , együttható‐rendszer példát ad olyan polinomra, amelynek értéke minden egész mellett 7-tel osztható egész szám, együtthatói viszont nem mind egész számok, ennélfogva rá az eredeti kitűzés állítása nem igaz. 2. Hetedfokú egyenletre már nem volna igaz a helyesbített feladat állítása. Ugyanis az polinom együtthatói egész számok, a polinom értéke minden egész helyen osztható 7-tel, viszont nem minden együtthatója osztható 7-tel (csak a ki nem írt, 0 értékű együtthatói).
Lásd Horvay Katalin‐Pálmay Lóránt: Matematika a gimn. I. oszt. számára. 4. kiadás. Tankönyvkiadó. Budapest, 1969. 110.old.A bizonyítás megtalálható pl. a következő középiskolai szakköri füzetben, a 18‐26. oldalakon: Faragó László: A számelmélet elemei. 2. kiadás. Tankönyvkiadó. Budapest. 1967. |