A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az , sorozatok számtani sorozatok; így első tagjuk összege | | amiből külön számolás nélkül értéke is kiolvasható, ha -ban helyére -t írunk: Mivel természetes szám, az , sorozatok tagjai, és ezek összegei is természetes számok, így joggal beszél a feladat e sorozatok első , illetve első tagjának az összegéről. Mivel az sorozat első , és az sorozat első tagjának az összege, és , azért az különbség egyenlő az sorozatnak a -edik tagjától a -edik tagjáig terjedő szeletében levő tagok összegével. Ez az összeg ‐ ismét a számtani sorozat összegére vonatkozó ismert tétel szerint ‐ egyenlő a két szélső tag számtani közepének ‐ jelöljük ezt -nel ‐ és a tagok számának a szorzatával. A tagok száma és különbsége, ami nem más, mint . Eszerint ahol
Emiatt , ami valóban egy természetes szám köbe. Hasonlóan kapjuk, hogy ahol a sorozat -edik és -edik tagjának a számtani közepe:
Emiatt | | ami valóban két köbszám összege.
Megjegyzések. 1. Eredményeink így is kimondhatók: | | ezek különbségéből pedig, bevezetve a jelölést: | | vagyis az így értelmezett -sorozatban is bármely két egymás utáni tag különbsége egyenlő egy természetes szám köbével.
Garay Barnabás (Sopron, Széchenyi I. Gimn., IV. o. t.) |
2. A legegyszerűbb speciális esetben és a két számtani sorozat: | | Ezekből a megoldásban említett szeleteket külön sorokba írva és a sorokból háromszög alakú táblázatokat alakítva, két közismert érdekességet kapunk: a bal oldali táblázat minden egyes sorának összege köbszám, a jobb oldali táblázatban pedig két egymás utáni köbszám összegét kapjuk minden egyes sor számainak összegeként.
|