Feladat: F.1773 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Garay Barnabás 
Füzet: 1971/december, 207 - 208. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számelrendezések, Rekurzív eljárások, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/május: F.1773

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az ai, bi sorozatok számtani sorozatok; így első k tagjuk összege

s(k)=a1+a2+...+ak=ka1+ak2=k1+1+2(k-1)d2=k+k(k-1)d,
amiből külön számolás nélkül t(k) értéke is kiolvasható, ha s(k)-ban d helyére d/2-t írunk:
t(k)=k+k(k-1)d2.
Mivel d természetes szám, az ai, bi sorozatok tagjai, és ezek összegei is természetes számok, így joggal beszél a feladat e sorozatok első t(n), illetve első s(n) tagjának az összegéről.
Mivel An+1 az ai sorozat első t(n+1), és An az ai sorozat első t(n) tagjának az összege, és t(n)<t(n+1), azért az An+1-An különbség egyenlő az ai sorozatnak a (t(n)+1)-edik tagjától a t(n+1)-edik tagjáig terjedő szeletében levő tagok összegével. Ez az összeg ‐ ismét a számtani sorozat összegére vonatkozó ismert tétel szerint ‐ egyenlő a két szélső tag számtani közepének ‐ jelöljük ezt Sn-nel ‐ és a tagok számának a szorzatával. A tagok száma t(n+1) és t(n) különbsége, ami nem más, mint bn+1. Eszerint
An+1-An=Snbn+1,
ahol
Sn=12(at(n)+1+at(n+1))=12[(1+2t(n)d)+(1+2(t(n+1)-1)d)]==1+[t(n)+t(n+1)-1]d=1+[n+n(n-1)d2+n+n(n+1)d2]d==1+2nd+n2d2=(1+nd)2=bn+12.



Emiatt An+1-An=bn+13, ami valóban egy természetes szám köbe. Hasonlóan kapjuk, hogy
Bn+1-Bn=Tnan+1,
ahol Tn a bi sorozat [s(n)+1]-edik és s(n+1)-edik tagjának a számtani közepe:
Tn=12(bs(n)+1+bs(n+1))=12[1+s(n)d+1+(s(n+1)-1)d]==1+[s(n)+s(n+1)-1]d2=1+[n+n(n-1)d+n+n(n+1)d]d2==1+nd+n2d2.


Emiatt
Bn+1-Bn=(1+nd+n2d2)(1+2nd)=(nd)3+(1+nd)3,
ami valóban két köbszám összege.
 

Megjegyzések. 1. Eredményeink így is kimondhatók:
An+1-An=bn+13,Bn+1-Bn=bn+13+(bn+1-1)3,
ezek különbségéből pedig, bevezetve a Ck=Bk-Ak jelölést:
(Bn+1-An+1)-(Bn-An)=Cn+1-Cn=(bn+1-1)3=(nd)3,
vagyis az így értelmezett C-sorozatban is bármely két egymás utáni tag különbsége egyenlő egy természetes szám köbével.
 

Garay Barnabás (Sopron, Széchenyi I. Gimn., IV. o. t.)

 

2. A legegyszerűbb speciális esetben d=1 és a két számtani sorozat:
1,3,5,7,9,...,ill.1,2,3,4,5,...
Ezekből a megoldásban említett szeleteket külön sorokba írva és a sorokból háromszög alakú táblázatokat alakítva, két közismert érdekességet kapunk: a bal oldali táblázat minden egyes sorának összege köbszám, a jobb oldali táblázatban pedig két egymás utáni köbszám összegét kapjuk minden egyes sor számainak összegeként.
 

11352347911567891315171910111213141516  .............