Kezdőlap


Feladat:	F.1771	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1971/október, 58 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Sík parkettázás, Rácsgeometria, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/április: F.1771

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ötszögekre tett előírások szerint a tengelyek valóban négyzethálót adnak, hiszen e háló egy szemének a szomszédos oldalai egyenlőek és merőlegesek egymásra. A négyzeteket az ötszögek oldalai négy egybevágó és egymáshoz képest 90‐ $90^{\circ}$ -kal elfordult részre vágják, így a négyzetek belsejében levő ötszög-csúcsok (pl. $K$ ) a négyzeteknek centrumai.
a) Válasszuk egységnek a négyzetháló oldalait, és jelöljük a $D C F$ szöget $α$ -val, $D$ -nek a $C F$ egyenesen levő vetületét $D_{0}$ -lal. A $D D_{0} C$ derékszögű háromszögben

\begin{matrix} D_{0} C = ctg α, D C = \frac{1}{sin α}, így E D = 1 - D_{0} C = 1 - ctg α, \end{matrix}

és az

A B C D E F

hatszög kerülete

\begin{matrix} k (α) = 2 E D + 4 D C = 2 (1 - ctg α) + \frac{4}{sin α} = 2 + 2 \frac{2 - cos α}{sin α} \end{matrix}

Ha ez a változó

α

-nak valamilyen

α_{0}

értéke mellett minimális, ott a

k (α)

függvény

\begin{matrix} k' (α) = 2 \frac{sin^{2} α - cos α (2 - cos α)}{sin^{2} α} = 2 \frac{1 - 2 cos α}{sin^{2} α} \end{matrix}

deriváltja 0-val egyenlő, azaz

cos α_{0} = 1 / 2

, és ez ‐ mivel

0 < α < 90^{\circ}

‐ csak

α_{0} = 60^{\circ}

mellett teljesül.
Ha viszont a

C G J

háromszög szabályos, akkor

α = 180^{\circ} - K C J ∢ - J C G ∢ = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ}

, ekkor tehát a hatszög kerületének nincs minimuma, a feladatbeli állítás nem igaz. (Figyelembe vettük azt is, hogy

α_{0} = 60^{\circ}

az értelmezési tartománynak belső pontja.)
b) A

C G H J K

ötszög négy oldala a követelmény szerint egyenlő, így ez az ötszög akkor egyenlő oldalú, ha

C G

oldala is egyenlő a többiekkel. Jelöljük a

C J'

szakasz hosszát

x

-szel, akkor

C G = 2 x, C K = D C / 2 = \sqrt[]{1 + {(1 - 2 x)}^{2}} / 2

, eszerint

x

\begin{matrix} 2 x = \frac{1}{2} \sqrt[]{2 - 4 x + 4 x^{2}} \end{matrix}

(1)

egyenlet gyöke. Négyzetreemeléssel, rendezéssel

6 x^{2} + 2 x - 1 = 0

, s mivel az állandó tag negatív, a gyökök valósak és ellentett előjelűek. Számunkra csak a pozitív gyök:

\begin{matrix} J' C = x = \frac{\sqrt[]{7} - 1}{6} (= 0, 2743) \end{matrix}

használható, és ez ki is elégíti (1)-et. Ezzel a megoldást befejeztük.

Megjegyzések. 1. Mivel

0 < α < 60^{\circ}

mellett

k' (α) < 0

, és

60^{\circ} < α < 90^{\circ}

mellett

k' (α) > 0

, azért

k (α)

-nak a

0 < α < 90^{\circ}

szakaszon

α_{0} = 60^{\circ}

mellett valóban minimuma van. Ekkor az

A B C D E F

hatszög mindegyik szöge

120^{\circ}

-os.
2. Talán a most mondott eredmény tévesztette meg a feladatban említett személyt. Egyébként beszélhetett volna az ötszöglap kerületéről is, hiszen ez éppen a fele a hatszög kerületének.
3. A feladat állításának ellenőrzésére több más lehetőség is van, más méretet választva független változónak. Vázolunk két ilyet tanulságul, ajánljuk teljes kidolgozásukat és összehasonlításukat a fenti megoldással.
(I.) Változónak véve az állítás szerint

60^{\circ}

-kal egyenlő

x = G C J ∢

-et, hosszegységnek pedig a négyzet oldalát, a hatszög kerülete

\begin{matrix} k (x) = \frac{4 (\sqrt[]{2} + cos x)}{cos x + sin x}, \end{matrix}

deriváltja eredetileg elég bonyolult, és értéke

x = 60^{\circ}

esetén

2 \sqrt[]{6} - 2 \sqrt[]{2} - 4 < 0

, tehát nincs minimum. (Könnyű ezeket hozzátenni: E helyen csökken a

k (x)

, a minimum tehát nagyobb

x

-nél várható. A derivált számlálója kellő rendezéssel

8 [sin (x - 45^{\circ}) - sin 30^{\circ}]

, innen a (valódi) minimum helye

x = 75^{\circ}

, ebből pedig

α = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}

.)
(II.) Ha pedig

x = J' C

a független változó, akkor

\begin{matrix} k_{1} (x) = 4 x + 8 \sqrt[]{x^{2} - 2 x + 2}, \end{matrix}

a számítás még hosszabb, mert meg is kell oldani a

k_{1}' (x) = 0

négyzetgyökös egyenletet, ki kell választani a két pozitív gyök közül azt, amelyik valóban szóba jön, ellenőrizni a minimum létezését, végül

x

ezen értékéből kiszámítani a

G C J

szöget.
Az ajánlott összehasonlítást végrehajtva példát lát az olvasó, körülbelül mire gondoljon, ha egy versenybizottsági jelentés egyszerű és bonyolultabb megoldásokat említ.