Kezdőlap


Feladat:	F.1768	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1971/október, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/április: F.1768

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételből következik, hogy $s = \frac{q r}{p}$ , tehát egyenletünk behelyettesítéssel a

\begin{matrix} p x^{3} - q x - r x + \frac{q r}{p} = 0 \end{matrix}

egyenletbe megy át. Szorozzuk meg az egyenletet

p

-vel:

\begin{matrix} p^{2} x^{3} - p q x^{2} - p r x + q r = 0. \end{matrix}

Az első két tagból a

p x^{2}

-et, a második kettőből

r

-et kiemelve,

p x - q

ismét kiemelhető. Egyenletünk a szorzattá alakítás után:

\begin{matrix} (p x^{2} - r) (p x - q) = 0. \end{matrix}

Ennek megoldásai:

\begin{matrix} x_{1} = \sqrt[]{\frac{r}{p}}, x_{2} = - \sqrt[]{\frac{r}{p}}, x_{3} = \frac{q}{p} . \end{matrix}

A feltétel szerint a paraméterek pozitívak, tehát a gyökök valóban valósak. A feladat állítását ezzel bebizonyítottuk.
Az

x_{1}

és

x_{2}

egymás ellentettjei, és mivel

r \neq 0

, nem lehetnek egyenlők.

x_{2} < 0

x_{3} > 0

, tehát szintén nem lehetnek egyenlők. Egyetlen lehetőség, hogy

x_{1} = x_{3}

. Ez akkor teljesül, ha

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{r}{p}} = \frac{q}{p}, azaz \frac{r}{p} = \frac{q^{2}}{p^{2}}, q^{2} = r p, \end{matrix}

azaz ha a

q

paraméter az

r

és

p

mértani közepe.

p = \frac{q r}{s}

miatt

q^{2} = \frac{r^{2} q}{s}

r^{2} = q s

r

is mértani közepe

q

-nak és

s

-nek, azaz mondhatjuk, hogy

x_{1} = x_{3}

egyenlősége esetén a

p

q

r

s

számok mértani sorozatot alkotnak.
Fordítva, ha az együtthatók mértani sorozatot alkotnak, következik a gyökök egyenlősége, pl.

p = 1

q = λ

r = λ^{2}

s = λ^{3}

p s = r q = λ^{3}

teljesül. Az egyenlet

x^{3} - λ x^{2} - λ^{2} x + λ^{3} = 0

, szorzat alakja

{(x - λ)}^{2} (x + λ) = 0

, tehát van két egyenlő gyöke.