Feladat: F.1759 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1971/november, 134 - 135. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Oldalfelező merőleges, Négyszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/február: F.1759

Szerkesszünk olyan ABCD négyszöget, melyben adott az AB oldal, és tudjuk, hogy a D csúcsnál levő szöge 3-szor akkora. mint a C-nél levő, ez ismét 3-szor akkora, mint a B-nél levő szög, ez pedig 3-szorosa az A-nál levő szögnek, továbbá azt, hogy AD=BC.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A követelményekből következik, hogy az A-nál levő α szög a négyszög legkisebb szöge és B-nél 3α, C-nél 9α, D-nél 27α nagyságú szög van. E négy szög összegére 40α=360, tehát az A, B, C, D csúcsnál rendre 9, 27, 81, 243-os szög van.
Legyen C és D tükörképe az AB oldal m felező merőlegesére C', ill. D' (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Ekkor AC'=BC=AD (a követelmény szerint), tehát ADC' egyenlő szárú háromszög. A szárai közti szög C'AD=C'AB-DAB=27-9=18, így AC'D=81=BCD=AC'D', tehát D rajta van a C'D' félegyenesen.
Másrészt DD' párhuzamos AB-vel és C'D'-t csak egy pontban metszi, mert 72-os szöget zár vele be, amennyi az AB és CD egyenesek hajlásszöge. Eszerint D azonos D'-vel, rajta vannak m-en, ABD egyenlő szárú háromszög és megszerkeszthető ‐ mert AB alapját tetszőlegesen választhatjuk, hiszen a követelmények a négyszögnek csak az alakját szabják meg az alapon levő 9-os szög pedig 1/8 része a szabályos ötszög külső szögének (2. ábra). *
 
 
2. ábra
 

Továbbmenve BD=AD=BC, tehát BCD is egyenlő szárú háromszög és szerkeszthető, mert a szárai közti szög 18.
 

Megjegyzés. D és D' azonossága folytán tulajdonképpen nem lehet beszélni DD' egyenesről. Mondhatjuk azonban így is: D ugyanazon az oldalán van AB-nek és tőle ugyanakkora távolságban, mint D', és ekkora távolságban csak egy pontja van a C'D' egyenesnek.

*Szerkeszthető az 1766. feladatban talált sin18=(5-1)/4 összefüggés alapján is.