A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az egyező színű lappárok a dobozon vagy szomszédosak lehetnek, azaz van közös élük, vagy párhuzamosak. A színezési lehetőségek osztályozása céljára első szempontnak azt vesszük, hogy a doboz három párhuzamos lappárja közül hány pár van egyező színűre festve. Nyilvánvalóan lehet úgy festeni, hogy nincs ilyen pár, lehet úgy, hogy csak van, ha pedig párt már így festettünk, akkor a harmadik is ilyen, tehát ez a szám , vagy , vagy . 1. Legyen . Ez a kocka befestését egyértelműen meghatározza. Így ugyanis mind a csúcsban különböző szín fut össze, és két csúcs között csak az a különbözőség képzelhető el, hogy a csúcsot magunk felé fordítva a szín az óramutató járása irányában haladva vagy (piros), (sárga), (kék) vagy , , sorrendben követi egymást. Ha mármost a festés során valamelyik csúcsban megválasztottuk ezt a sorrendet, ezzel már meghatároztuk a teljes kocka befestését, és a kiszemelt csúccsal szomszédos csúcsban éppen a fordított sorrend adódik (1. ábra, a 4‐4 db világos és sötét köröcske jelöli az egyező körüljárásokat). 1. ábra Arra is tekintettel voltunk eredményünk kimondásában, hogy a kétféle csúcsnégyes egymás helyére juttatható, éspedig például a vízszintes lapok középpontjait összekötő laptengely körüli -os elfordítással (bármelyik irányban). A gyufásdoboznak három különböző lapja van: egy nagy téglalap, amelyiken a címke van, egy hosszúkás téglalap, amelyiken a dörzsfelület van, és egy kis téglalap, ez a belső rész kívülről is látható lapja (röviden , és lapok). Az alakú két párhuzamos lap színét -féleképpen választhatjuk meg, ezután a -lapok színét a még nem használt két szín közül -féleképpen, és ezzel a -lapok színe minden esetben egyértelműen meghatározott. Így -féle kifestést kapunk, és ezek mind különbözők, hiszen közülük bármelyik kettőhöz található az , , lapok között olyan, amelyiknek az egyik színezés szerint más a színe, mint a másik szerint. 2. Legyen most és fessük egyező színűre ‐ színűre ‐ a kocka alap- és fedőlapját. Ekkor a függőleges laptengely körül forgatva, a másik két szín sorrendje csak , , , , , , lehet, és bármelyik lapot választhatjuk előlapnak, tehát a festés mondott ,,betű-terve'' egyértelmű. Ebből aszerint kapunk különbözően festett kockát, hogy a helyére melyik színünket választjuk. Gyufásdoboz esetén az egyező színűre festett lappárt -féleképpen választhatjuk meg. Ha már ezt megválasztottuk (mondjuk az -lapok színe ugyanaz) és megválasztottuk ennek a lapnak a színét is (amire most is lehetőségünk van), a még nem használt két színt a -lapokhoz és a -lapokhoz is használnunk kell, és csak arról dönthetünk, hogy e két lap színezéseit (a doboz -re merőleges tengelye körüli forgatásával) milyen sorrendben csatlakoztatjuk egymáshoz. A gondolható kétféle színezés azonban nem különbözik egymástól, mert ha a dobozt úgy tartjuk, hogy az -lapok vízszintesek legyenek, majd az alsó lapot felülre fordítjuk, a kétféle színezés egymásba megy át. Tehát a gyufásdoboznak mellett lehetséges színezése van. 3. Végül esetében mind a három szín előfordulása egy élben találkozik, legyen ez a kocka esetében a piros színre a fedőlap elülső éle (2. ábra). 2. ábra Ekkor a -be és -be befutó harmadik lapoknak, vagyis a bal és jobb oldallapnak különbözőknek kell lenniük. Nem jelent különbözőséget, hogy a jobb lapot sárgára vagy kékre festjük, a bal lapot pedig kékre, ill. sárgára, hiszen e két lap a él felezőpontján átmenő éltengely körüli -os elfordítással egymásba vihető át, a kocka fedi a kiindulási helyzetét és a piros lap fölcserélődik. Legyen tehát a jobb oldallap sárga és így a bal kék. A hátralevő lap közül második sárgának vehető az alsó vagy a hátulsó és ez a lehetőség már különböző, és egyértelműen meghatározza a második kék lap helyzetét. Ezek szerint kocka -féleképpen színezhető a feladat követelményeinek megtartásával. Gyufásdoboz esetében az iménti piros lappár és él helyére -féleképpen választhatunk: és lap, és , és lap közös élét. Továbbá nem vihetjük át egymásba a két piros lapot a mondott -os forgatással, így a lehetőségek száma -mal és -vel szorzódva lesz. A doboz tehát -féleképpen festhető ki.
Pálffy László (Pécs, Széchenyi I. Gimn., II. o. t.) |
|