Feladat: F.1751 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Pálffy László 
Füzet: 1971/november, 127 - 128. oldal  PDF file
Témakör(ök): Testek szinezése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/január: F.1751

Egy gyufásdobozon két lapot pirosra, kettőt sárgára, kettőt kékre akarunk festeni. Hányféleképpen lehetséges ez?
Hányféleképpen lehet így egy kockát kiszínezni?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyező színű lappárok a dobozon vagy szomszédosak lehetnek, azaz van közös élük, vagy párhuzamosak. A színezési lehetőségek osztályozása céljára első szempontnak azt vesszük, hogy a doboz három párhuzamos lappárja közül hány pár van egyező színűre festve. Nyilvánvalóan lehet úgy festeni, hogy nincs ilyen pár, lehet úgy, hogy csak 1 van, ha pedig 2 párt már így festettünk, akkor a harmadik is ilyen, tehát ez a szám p=3, vagy 1, vagy 0.
1. Legyen p=3. Ez a kocka befestését egyértelműen meghatározza. Így ugyanis mind a 8 csúcsban 3 különböző szín fut össze, és két csúcs között csak az a különbözőség képzelhető el, hogy a csúcsot magunk felé fordítva a 3 szín az óramutató járása irányában haladva vagy p (piros), s (sárga), k (kék) vagy p, k, s sorrendben követi egymást. Ha mármost a festés során valamelyik csúcsban megválasztottuk ezt a sorrendet, ezzel már meghatároztuk a teljes kocka befestését, és a kiszemelt csúccsal szomszédos 3 csúcsban éppen a fordított sorrend adódik (1. ábra, a 4‐4 db világos és sötét köröcske jelöli az egyező körüljárásokat).

 
 
1. ábra
 
Arra is tekintettel voltunk eredményünk kimondásában, hogy a kétféle csúcsnégyes egymás helyére juttatható, éspedig például a vízszintes lapok középpontjait összekötő laptengely körüli 90-os elfordítással (bármelyik irányban).
A gyufásdoboznak három különböző lapja van: egy nagy téglalap, amelyiken a címke van, egy hosszúkás téglalap, amelyiken a dörzsfelület van, és egy kis téglalap, ez a belső rész kívülről is látható lapja (röviden N, H és K lapok). Az N alakú két párhuzamos lap színét 3-féleképpen választhatjuk meg, ezután a H-lapok színét a még nem használt két szín közül 2-féleképpen, és ezzel a K-lapok színe minden esetben egyértelműen meghatározott. Így 32=6-féle kifestést kapunk, és ezek mind különbözők, hiszen közülük bármelyik kettőhöz található az N, H, K lapok között olyan, amelyiknek az egyik színezés szerint más a színe, mint a másik szerint.
2. Legyen most p=1 és fessük egyező színűre ‐ a színűre ‐ a kocka alap- és fedőlapját. Ekkor a függőleges laptengely körül forgatva, a másik két szín sorrendje csak b, b, c, c, b, b, c,... lehet, és bármelyik lapot választhatjuk előlapnak, tehát a festés mondott ,,betű-terve'' egyértelmű. Ebből aszerint kapunk 3 különbözően festett kockát, hogy a helyére melyik színünket választjuk.
Gyufásdoboz esetén az egyező színűre festett lappárt 3-féleképpen választhatjuk meg. Ha már ezt megválasztottuk (mondjuk az N-lapok színe ugyanaz) és megválasztottuk ennek a lapnak a színét is (amire most is 3 lehetőségünk van), a még nem használt két színt a H-lapokhoz és a K-lapokhoz is használnunk kell, és csak arról dönthetünk, hogy e két lap színezéseit (a doboz N-re merőleges tengelye körüli forgatásával) milyen sorrendben csatlakoztatjuk egymáshoz. A gondolható kétféle színezés azonban nem különbözik egymástól, mert ha a dobozt úgy tartjuk, hogy az N-lapok vízszintesek legyenek, majd az alsó lapot felülre fordítjuk, a kétféle színezés egymásba megy át. Tehát a gyufásdoboznak p=1 mellett 33=9 lehetséges színezése van.
3. Végül p=0 esetében mind a három szín 2 előfordulása egy élben találkozik, legyen ez a kocka esetében a piros színre a fedőlap elülső BJ éle (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Ekkor a B-be és J-be befutó harmadik lapoknak, vagyis a bal és jobb oldallapnak különbözőknek kell lenniük. Nem jelent különbözőséget, hogy a jobb lapot sárgára vagy kékre festjük, a bal lapot pedig kékre, ill. sárgára, hiszen e két lap a BJ él felezőpontján átmenő éltengely körüli 180-os elfordítással egymásba vihető át, a kocka fedi a kiindulási helyzetét és a 2 piros lap fölcserélődik. Legyen tehát a jobb oldallap sárga és így a bal kék. A hátralevő 2 lap közül második sárgának vehető az alsó vagy a hátulsó és ez a 2 lehetőség már különböző, és egyértelműen meghatározza a második kék lap helyzetét.
Ezek szerint kocka 1+3+2=6-féleképpen színezhető a feladat követelményeinek megtartásával.
Gyufásdoboz esetében az iménti piros lappár és él helyére 3-féleképpen választhatunk: N és H lap, N és K, H és K lap közös élét. Továbbá nem vihetjük át egymásba a két piros lapot a mondott 180-os forgatással, így a lehetőségek száma 3-mal és 2-vel szorzódva 232=12 lesz.
A doboz tehát 6+9+12=27-féleképpen festhető ki.
 

Pálffy László (Pécs, Széchenyi I. Gimn., II. o. t.)