Feladat: F.1742 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Engedi Antal 
Füzet: 1971/november, 125 - 126. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Magasságpont, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/november: F.1742

Az ABCD tetraéderben a BDC szög derékszög. A D csúcsból az ABC síkra bocsátott merőleges talppontja egybeesik az ABC háromszög magasságpontjával. Bizonyítsuk be, hogy ekkor
(AB+BC+CA)26(AD2+BD2+CD2).

Mely tetraéderek esetén érvényes itt az egyenlőségjel ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1694. feladatban bebizonyítottuk,* hogy ha egy tetraéder egyik csúcsának a szemben levő lap síkján levő merőleges vetülete egybeesik annak a lapháromszögnek a magasságpontjával, akkor ez a tulajdonsága a tetraéder mindegyik csúcsának megvan.

 

 

Mostani feladatunk második feltevése szerint a D csúcsnak megvan a mondott tulajdonsága, ezért az A csúcsnak is; tehát A merőleges vetülete a BCD lap S síkján a D csúcs, hiszen az első föltevés szerint a BCD lap D-nél derékszögű háromszög, és így magasságpontja maga D. Ezek szerint AD merőleges S-re, és így ennek DB, DC egyeneseire is, tehát az ADB és az ADC háromszög is derékszögű, a tetraéder D-ből induló élei páronként merőlegesek egymásra.
Tetraéderünk származtatható egy téglatestből, elmetszve ezt a D csúcsában összefutó 3 él A, B, C végpontjaival meghatározott síkkal.
Alakítsuk az állítás jobb és bal oldalának K különbségét így:
K=3(AD2+BD2)+3(BD2+CD2)+3(AD2+CD2)-(AB+BC+CA)2==3(AB2+BC2+CA2)-(AB2+BC2+CA2)-2(ABBC+BCCA++CAAB)=(AB-BC)2+(BC-CA)2+(CA-AB)2.(2)


(Az első alak kéttagú kifejezéseit Pitagorasz tétele alapján helyettesítettük a megfelelő átfogó négyzetével, az utolsó alak tagjait pedig alkalmas csoportosítás alapján írtuk fel.)
(2) szerint K nem lehet negatív, tehát az állítás helyes. (1)-ben akkor és csak akkor érvényes az egyenlőségi jel, ha K=0, azaz (2) mindhárom tagja külön is 0, vagyis ha AB=BC=CA, a tetraéder ABC lapja szabályos háromszög, többi 3 lapja egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszög. A fent említett származtatás szerint kockából kiindulva kapunk ilyen tetraédert.
 

Engedi Antal (Makó, József A. Gimn. IV. o. t. )

*K. M. L. 41 (1970) 118. o.