Kezdőlap


Feladat:	F.1664	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cserháti A. , Eller József , Fazekas Béla , Gegesy F. , Kemény A. , Kóczy L. , Lukács P. , Nagy F. , Nikodémusz Anna , Pálfy Judit , Prőhle T. , Reviczky J. , Sailer K. , Schűgerl Márta , Sipos F. , Szabó Gy. , Szalontai Á.
Füzet:	1970/február, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú gúlák, Terület, felszín, Térfogat, Síkidomok súlypontja, Poliéderek súlypontja, Szabályos testek, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/április: F.1664

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jelölést úgy választjuk, hogy a vesszőtlen pontok mindegyik egyenesnek az $O$ -ból induló egyik félegyenesén legyenek, a vesszősek a másikon.
Az a $8$ sík, amelyet a három egyenes egy-egy $2$ -es indexű pontja határoz meg, egy $T_{2}$ szabályos oktaédert határol, ennek térfogata $32 / 3$ . Ennek síkjaiban $Z_{2}$ helyett $Z_{1}$ -et, $Z'_{2}$ helyett $Z'_{1}$ -t véve a $8$ sík egy olyan $T_{2}$ testet határol, mely $T_{2}$ -ből a $z$ -tengely mentén való felére zsugorítással is származtatható, térfogata tehát $16 / 3$ . A hasonlóan az $x$ , ill. $y$ tengely menti zsugorítással előálló $T_{x}$ , $T_{y}$ test, valamint $T_{z}$ lapjai határolják a vizsgálandó $T$ testet, szám szerint $24$ lap (1. ábra).

1. ábra

T_{x}

T_{y}

és

T_{z}

mindegyike szimmetrikus a három tengely által páronként meghatározott síkokra, ezért ugyanez áll közös részükre,

T

-re is. Elegendő tehát

T

-nek a

3

sík által elhatárolt

8

térrész egyikébe eső részét vizsgálni. Legyen ez az

O X_{2} Y_{2} Z_{2}

tetraéderbe eső rész.
Az

X_{2} Y_{2} Z_{1}

sík az

O X_{2} Y_{2} Z_{2}

tetraédert két egyenlő térfogatú részre vágja szét (hiszen a részek

O

Z_{2}

nem közös csúcsai a metsző síktól egyenlő távolságra vannak), az

O Z_{2} Y_{2}

O Z_{2} X_{2}

oldallapokat pedig azok

Y_{2} Z_{1}

, ill.

X_{2} Z_{1}

súlyvonalában metszi. Az

X_{2} Y_{2} Z_{1}

, és

Y_{2} Z_{2} X_{1}

síkoknak

Y_{2}

közös pontjuk, továbbá az

O X_{2} Z_{2}

lapot annak

X_{2} Z_{1}

, illetve

X_{1} Z_{2}

súlyvonalában metszik, tehát e lap

S_{2}

súlypontja is rajta van mindkét síkon. Az

X_{2} Y_{2} Z_{1}

Y_{2} Z_{2} X_{1}

síkok metszésvonala tehát az

O X_{2} Y_{2} Z_{2}

tetraéder

Y_{2} S_{2}

súlyvonala (2. ábra).

2. ábra

Hasonlóan kapjuk, hogy a további metszésvonalak a

Z_{2} S_{3}

X_{2} S_{1}

súlyvonalak, ahol

S_{3}

O X_{2} Y_{2}

lap súlypontja,

S_{1}

pedig az

O Y_{2} Z_{2}

lapé, és így az

X_{2} Y_{2} Z_{1}

Y_{2} Z_{2} X_{1}

Z_{2} X_{2} Y_{1}

síkok metszéspontja az

O X_{2} Y_{2} Z_{2}

tetraéder

S

súlypontja.

T

-nek e tetraéderbe eső része tehát az

O

csúcsú, és

\begin{matrix} S_{1} S S_{2} Z_{1}, S_{2} S S_{3} X_{1}, S_{3} S S_{1} Y_{1} \end{matrix}

alapú gúlák egyesítéséből áll. Mivel az

X_{2} Z_{2} Y_{1}

háromszög területének az

S_{3} S S_{1} Y_{1}

négyszög területe az

1 / 6

-a (mert az

Y_{1} S S_{3}

háromszög területe fele

X_{2} S S_{3}

területének, ez viszont

1 / 4

-e

X_{2} Z_{2} S_{3}

területének, ami pedig

X_{2} Z_{2} Y_{1}

területének

2 / 3

-a), az

O S_{3} S S_{1} Y_{1}

gúla térfogata az

O X_{2} Z_{2} Y_{1}

tetraéder térfogatának

1 / 6

-a, vagyis az

O X_{2} Y_{2} Z_{2}

tetraéder térfogatának

1 / 12

-e. A fenti három gúla együttes térfogata tehát

O X_{2} Y_{2} Z_{2}

térfogatának

1 / 4

-e, így pedig

T

térfogata is negyede

T_{2}

térfogatának:

\begin{matrix} V_{T} = \frac{1}{4} V_{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{3} = \frac{8}{3} térfogategység . \end{matrix}

Fazekas Béla (Pannonhalma, Benedekrendi Gimn., IV. o. t.)

Eller József (Mohács, Kisfaludy K. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A vizsgált test a szabályos (köbös) kristályrendszer deltoidikozitetraéder (deltoidhuszonnégyes) nevű alakja. Általános jelölése

h

k

k

, ahol

h

és

k

(h < k)

a síkjai által a tengelyekből lemetszett, egymástól különböző szakaszok, esetünkben

1

2

2