|
Feladat: |
F.1664 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Cserháti A. , Eller József , Fazekas Béla , Gegesy F. , Kemény A. , Kóczy L. , Lukács P. , Nagy F. , Nikodémusz Anna , Pálfy Judit , Prőhle T. , Reviczky J. , Sailer K. , Schűgerl Márta , Sipos F. , Szabó Gy. , Szalontai Á. |
Füzet: |
1970/február,
49 - 50. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Négyszög alapú gúlák, Terület, felszín, Térfogat, Síkidomok súlypontja, Poliéderek súlypontja, Szabályos testek, Tetraéderek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/április: F.1664 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A jelölést úgy választjuk, hogy a vesszőtlen pontok mindegyik egyenesnek az -ból induló egyik félegyenesén legyenek, a vesszősek a másikon. Az a sík, amelyet a három egyenes egy-egy -es indexű pontja határoz meg, egy szabályos oktaédert határol, ennek térfogata . Ennek síkjaiban helyett -et, helyett -t véve a sík egy olyan testet határol, mely -ből a -tengely mentén való felére zsugorítással is származtatható, térfogata tehát . A hasonlóan az , ill. tengely menti zsugorítással előálló , test, valamint lapjai határolják a vizsgálandó testet, szám szerint lap (1. ábra).
1. ábra , és mindegyike szimmetrikus a három tengely által páronként meghatározott síkokra, ezért ugyanez áll közös részükre, -re is. Elegendő tehát -nek a sík által elhatárolt térrész egyikébe eső részét vizsgálni. Legyen ez az tetraéderbe eső rész. Az sík az tetraédert két egyenlő térfogatú részre vágja szét (hiszen a részek , nem közös csúcsai a metsző síktól egyenlő távolságra vannak), az , oldallapokat pedig azok , ill. súlyvonalában metszi. Az , és síkoknak közös pontjuk, továbbá az lapot annak , illetve súlyvonalában metszik, tehát e lap súlypontja is rajta van mindkét síkon. Az , síkok metszésvonala tehát az tetraéder súlyvonala (2. ábra).
2. ábra Hasonlóan kapjuk, hogy a további metszésvonalak a , súlyvonalak, ahol az lap súlypontja, pedig az lapé, és így az , , síkok metszéspontja az tetraéder súlypontja. -nek e tetraéderbe eső része tehát az csúcsú, és alapú gúlák egyesítéséből áll. Mivel az háromszög területének az négyszög területe az -a (mert az háromszög területe fele területének, ez viszont -e területének, ami pedig területének -a), az gúla térfogata az tetraéder térfogatának -a, vagyis az tetraéder térfogatának -e. A fenti három gúla együttes térfogata tehát térfogatának -e, így pedig térfogata is negyede térfogatának: | |
Fazekas Béla (Pannonhalma, Benedekrendi Gimn., IV. o. t.) |
Eller József (Mohács, Kisfaludy K. Gimn., IV. o. t.) |
Megjegyzés. A vizsgált test a szabályos (köbös) kristályrendszer deltoidikozitetraéder (deltoidhuszonnégyes) nevű alakja. Általános jelölése , , , ahol és a síkjai által a tengelyekből lemetszett, egymástól különböző szakaszok, esetünkben , , .
|
|