Kezdőlap


Feladat:	F.1662	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baitner L. , Bajmóczy E. , Balogh Z. , Beck J. , Birkner L. , Csetényi A. , Csikvári A. , Donga Gy. , Eller J. , Feind F. , Gajdács Ibolya , Galántai A. , Gegesy F. , Gutori L. , Gönczi I. , Göndőcs F. , Hadik Gy. , Hermann T. , Kálmán M. , Kemény A. , Kérchy L. , Kóczy L. , Komjáth P. , Krasznai A. , Lázár András , Lukács P. , Maróti Gy. , Müller Zója , Nagy F. , Nikodémusz Anna , Papp Z. , Pethő G. , Prőhle T. , Sailer K. , Schűgerl Márta , Schván P. , Simon Júlia , Sipos F. , Somorjai G. , Szabó Gy. , Szalontai Á. , Terlaky Edit , Várhegyi Éva , Viszeki Gy. , Waszlavik L.
Füzet:	1970/március, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Kör egyenlete, Osztópontok koordinátái, Mértani helyek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/április: F.1662

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az állandó értéke $c^{2}$ , ahol $c$ adott szakasz, az adott kör $k$ , továbbá $B$ , $C$ és az $F$ felezőpont vetülete $k$ -nak $A D$ átmérőjére $B'$ , $C'$ , $F'$ . Mivel $B A D$ és $C A D$ derékszögű háromszög, azért

\begin{matrix} A B^{2} = A D \cdot A B' = 2 r \cdot A B', A C^{2} = 2 r \cdot A C', \end{matrix}

(1)

és így a feltevés folytán

\begin{matrix} A B^{2} + A C^{2} = 2 r (A B' + A C') = 4 r \cdot A F' = c^{2} . \end{matrix}

(2)

Felhasználtuk, hogy az egyenlő

B F

és

F C

szakaszok merőleges vetülete

A D

-n is egyenlő:

B' F' = F' C'

, és így (

B A ≦ C A

megállapodással)

\begin{matrix} A B' + A C' = A B' + (A B' + B' C') = 2 A B' + 2 B' F' = 2 A F' . \end{matrix}

(2) szerint az

A F'

szakasz és vele az

F'

vetület helyzete állandó, ezért

F

csak az

F'

-ben

A D

-re állított merőleges egyenesen lehet.

F'

-t (2) alapján megadja a

D

körüli,

A

-n átmenő kör és az

A

körüli,

c

sugarú kör közös húregyenesének

A D

-vel való metszéspontja.

Másrészt

F

, és vele

F'

is a

k

belsejében van, így a mondott merőlegesnek csak a

k

-ba eső

G H

húrja tartozhat hozzá a mértani helyhez (végpontjai nélkül, hiszen

F

csak úgy lehetne a

k

-n, ha

B

és

C

egybeesnék, ekkor viszont nem beszélhetünk

B C

húrról). A

G H

húr bármely

F^{*}

belső pontjához valóban tartozik (legalább) egy, általa felezett

B^{*} C^{*}

húr, amelyre

A B^{* 2} + A C^{* 2} = c^{2}

, ezt az

O F^{*}

-ra

F^{*}

-ban állított merőleges metszi ki

k

-ból. Ugyanis ekkor mindenesetre

B^{*} F^{*} = F^{*} C^{*}

, ezért

B^{*}' F' = F' C^{*}'

, tehát az (1) és (2) átalakítás, valamint

F'

mondott szerkesztése szerint

A B^{* 2} + A C^{* 2} = c^{2}

.
Eszerint

F

valóban a

G H

húr belső pontjait írja le.

F'

és a

G H

húr létrejöttének feltétele

A F' < 2 r

alapján

0 < c^{2} < 8 r^{2}

c < 2 \sqrt[]{2 r}

.
Amennyiben

F'

-ként

k

-nak

O

középpontja adódik, magához az

O

ponthoz

k

bármely átmérőjének végpontjai megfelelő

B

C

pontpárt adnak.

Lázár András (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)

Megjegyzés. Kézenfekvő a feladatot koordinátákkal oldani meg, ez a megoldás azonban nem különbözik lényegesen a fentitől, csak kissé gépiesebben vezet a talált eredményre. Ezért nem részletezzük.