Feladat: F.1662 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baitner L. ,  Bajmóczy E. ,  Balogh Z. ,  Beck J. ,  Birkner L. ,  Csetényi A. ,  Csikvári A. ,  Donga Gy. ,  Eller J. ,  Feind F. ,  Gajdács Ibolya ,  Galántai A. ,  Gegesy F. ,  Gutori L. ,  Gönczi I. ,  Göndőcs F. ,  Hadik Gy. ,  Hermann T. ,  Kálmán M. ,  Kemény A. ,  Kérchy L. ,  Kóczy L. ,  Komjáth P. ,  Krasznai A. ,  Lázár András ,  Lukács P. ,  Maróti Gy. ,  Müller Zója ,  Nagy F. ,  Nikodémusz Anna ,  Papp Z. ,  Pethő G. ,  Prőhle T. ,  Sailer K. ,  Schűgerl Márta ,  Schván P. ,  Simon Júlia ,  Sipos F. ,  Somorjai G. ,  Szabó Gy. ,  Szalontai Á. ,  Terlaky Edit ,  Várhegyi Éva ,  Viszeki Gy. ,  Waszlavik L. 
Füzet: 1970/március, 102 - 103. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Kör egyenlete, Osztópontok koordinátái, Mértani helyek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/április: F.1662

Egy kör kerületén rögzítettük az A pontot. A BC húr úgy mozog, hogy AB2+AC2 állandó. Milyen pályát ír le a húr felezőpontja?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az állandó értéke c2, ahol c adott szakasz, az adott kör k, továbbá B, C és az F felezőpont vetülete k-nak AD átmérőjére B', C', F'. Mivel BAD és CAD derékszögű háromszög, azért

AB2=ADAB'=2rAB',AC2=2rAC',(1)
és így a feltevés folytán
AB2+AC2=2r(AB'+AC')=4rAF'=c2.(2)
Felhasználtuk, hogy az egyenlő BF és FC szakaszok merőleges vetülete AD-n is egyenlő: B'F'=F'C', és így (BACA megállapodással)
AB'+AC'=AB'+(AB'+B'C')=2AB'+2B'F'=2AF'.

(2) szerint az AF' szakasz és vele az F' vetület helyzete állandó, ezért F csak az F'-ben AD-re állított merőleges egyenesen lehet. F'-t (2) alapján megadja a D körüli, A-n átmenő kör és az A körüli, c sugarú kör közös húregyenesének AD-vel való metszéspontja.
 

 

Másrészt F, és vele F' is a k belsejében van, így a mondott merőlegesnek csak a k-ba eső GH húrja tartozhat hozzá a mértani helyhez (végpontjai nélkül, hiszen F csak úgy lehetne a k-n, ha B és C egybeesnék, ekkor viszont nem beszélhetünk BC húrról). A GH húr bármely F* belső pontjához valóban tartozik (legalább) egy, általa felezett B*C* húr, amelyre AB*2+AC*2=c2, ezt az OF*-ra F*-ban állított merőleges metszi ki k-ból. Ugyanis ekkor mindenesetre B*F*=F*C*, ezért B*'F'=F'C*', tehát az (1) és (2) átalakítás, valamint F' mondott szerkesztése szerint AB*2+AC*2=c2.
Eszerint F valóban a GH húr belső pontjait írja le.
F' és a GH húr létrejöttének feltétele AF'<2r alapján 0<c2<8r2, c<22r.
Amennyiben F'-ként k-nak O középpontja adódik, magához az O ponthoz k bármely átmérőjének végpontjai megfelelő B, C pontpárt adnak.
 

Lázár András (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)
 

Megjegyzés. Kézenfekvő a feladatot koordinátákkal oldani meg, ez a megoldás azonban nem különbözik lényegesen a fentitől, csak kissé gépiesebben vezet a talált eredményre. Ezért nem részletezzük.