|
Feladat: |
F.1656 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Beck J. , Chikán Bálint , Csetényi Artúr , Csörgő L. , Donga Gy. , Feind F. , Fejes G. , Fialovszky Alice , Fülöp V. , Füredi A. , Gál P. , Galántai A. , Görömbölyi L. , Hadik R. , Hetzer J. , Horváth F. , István Mária , Kálmán M. , Kóczy L. , Komjáth P. , Komornik V. , Krasznai A. , László I. , Lázár A. , Légrády G. , Pál J. , Papp L. , Sailer K. , Schűgerl Márta , Siegler A. , Somorjai G. , Szalay Csilla , Szalontai Á. , Szamosújvári S. , Tarsó B. , Tóth Z. |
Füzet: |
1969/november,
125 - 127. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvényvizsgálat, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Beírt kör, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/március: F.1656 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. a) A beírt kör átmérőjét a változó alap függvényeként fejezzük ki az ismert összefüggés felhasználásával ( a tengelybeli magasság, 1. ábra): | | (1) |
1. ábra Természetesen csak az értékekre értelmezzük a függvényt, így , tehát ugyanannál az értéknél van maximuma ‐ ha egyáltalán van ‐, mint négyzetének, az | | függvénynek, ezt fogjuk keresni. Szélső érték csak ott lehet, ahol a derivált eltűnik:
ami az korlátozás miatt csak az helyen következik be, hiszen az utolsó alak elöl álló törtjében a változó tényezők pozitívok, és a tört állandóan negatív. A mondott helyen maximum van, mert esetén , tehát , ha pedig , akkor . A maximum értéke (2) és (1) alapján . b) A szerkesztés: derékszögű háromszöget szerkesztünk és befogókkal, a átfogóra egyik végpontjából egységnyi hosszúságot mérünk fel, és az így maradó alap fölé szárral egyenlő szárú háromszöget szerkesztünk (2. ábra).
2. ábra
Csetényi Artúr (Szeged, Radnóti M. Gimn., I. o. t.) | Megjegyzések. 1. A közvetett függvény deriválási szabálya alapján (1) jobb oldalának deriváltjából is megállapíthatjuk a szélső érték helyét:
2. Felismerve, hogy a maximumra vezető alap -szer akkora, mint az egységsugarú körbe írt szabályos tízszög oldala, a kívánt háromszöget megszerkeszthetjük a szabályos ötszög szerkesztésére sokak által ismert Ptolemaiosz‐Dürer-féle eljárás utolsó lépésének módosításával is (3. ábra).
3. ábra II. megoldás (a feladat számító részére). Független változónak az alapon levő szög felét, -t véve , az 1. ábrán , és így
ami csak akkor tűnik el, ha | | , hiszen az elöl álló tört mindig pozitív. A cosinus függvény környezetében monoton csökkenő, így a -beli tényező is, esetén , esetén , tehát maximum van. Az alap hosszára ebből is adódik.
Chikán Bálint (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.) |
|
|