Kezdőlap


Feladat:	F.1656	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beck J. , Chikán Bálint , Csetényi Artúr , Csörgő L. , Donga Gy. , Feind F. , Fejes G. , Fialovszky Alice , Fülöp V. , Füredi A. , Gál P. , Galántai A. , Görömbölyi L. , Hadik R. , Hetzer J. , Horváth F. , István Mária , Kálmán M. , Kóczy L. , Komjáth P. , Komornik V. , Krasznai A. , László I. , Lázár A. , Légrády G. , Pál J. , Papp L. , Sailer K. , Schűgerl Márta , Siegler A. , Somorjai G. , Szalay Csilla , Szalontai Á. , Szamosújvári S. , Tarsó B. , Tóth Z.
Füzet:	1969/november, 125 - 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Beírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: F.1656

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) A beírt kör $2 ϱ$ átmérőjét a változó $x$ alap függvényeként fejezzük ki az ismert $ϱ = t / s$ összefüggés felhasználásával ( $m$ a tengelybeli magasság, 1. ábra):

\begin{matrix} 2 ϱ = \frac{2 t}{s} = \frac{4 t}{2 s} = \frac{2 x m}{2 + x} = \frac{x}{2 + x} \sqrt[]{4 - x^{2}} = x \sqrt[]{\frac{2 - x}{2 + x}} . \end{matrix}

(1)

1. ábra

Természetesen csak az

x > 0

értékekre értelmezzük a függvényt, így

2 ϱ > 0

, tehát ugyanannál az

x

értéknél van maximuma ‐ ha egyáltalán van ‐, mint négyzetének, az

\begin{matrix} y = {(2 ϱ)}^{2} = \frac{x^{2} (2 - x)}{2 + x} = \frac{2 x^{2} - x^{3}}{x + 2} \end{matrix}

függvénynek, ezt fogjuk keresni.
Szélső érték csak ott lehet, ahol a derivált eltűnik:

\begin{matrix} y' = \frac{(4 x - 3 x^{2}) (x + 2) - (2 x^{2} - x^{3}) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}} = \\ = \frac{- 2 x (x^{2} + 2 x - 4)}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- 2 x (x + \sqrt[]{5} + 1)}{{(x + 2)}^{2}} (x + 1 - \sqrt[]{5}) = 0, \end{matrix}

ami az

x > 0

korlátozás miatt csak az

\begin{matrix} x_{0} = \sqrt[]{5} - 1 (\approx 1, 236) \end{matrix}

(2)

helyen következik be, hiszen az utolsó alak elöl álló törtjében a változó tényezők pozitívok, és a tört állandóan negatív.
A mondott helyen maximum van, mert

x < x_{0}

esetén

x + 1 - \sqrt[]{5} < 0

, tehát

y' > 0

, ha pedig

x > x_{0}

, akkor

y' < 0

. A maximum értéke (2) és (1) alapján

2 ϱ_{{max}_{}^{}} = \sqrt[]{10 \sqrt[]{5} - 22} \approx 0, 601

.
b) A szerkesztés: derékszögű háromszöget szerkesztünk

1

és

2

befogókkal, a

\sqrt[]{5}

átfogóra egyik végpontjából egységnyi hosszúságot mérünk fel, és az így maradó

x_{0}

alap fölé

1

szárral egyenlő szárú háromszöget szerkesztünk (2. ábra).

2. ábra

Csetényi Artúr (Szeged, Radnóti M. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzések. 1. A közvetett függvény deriválási szabálya alapján (1) jobb oldalának deriváltjából is megállapíthatjuk a szélső érték helyét:

\begin{matrix} (2 ϱ)' = \sqrt[]{\frac{2 - x}{2 + x}} + x \cdot \frac{1}{2} \sqrt[]{\frac{2 + x}{2 - x}} \cdot \frac{- (2 + x) - (2 - x)}{{(2 + x)}^{2}} = \\ = \sqrt[]{\frac{2 - x}{2 + x}} (1 - \frac{2 x}{4 - x^{2}}) = \sqrt[]{\frac{2 - x}{2 + x}} \cdot \frac{4 - 2 x - x^{2}}{4 - x^{2}} . \end{matrix}

2. Felismerve, hogy a maximumra vezető

x_{0}

alap

2

-szer akkora, mint az egységsugarú körbe írt szabályos tízszög oldala, a kívánt háromszöget megszerkeszthetjük a szabályos ötszög szerkesztésére sokak által ismert Ptolemaiosz‐Dürer-féle eljárás utolsó lépésének módosításával is (3. ábra).

3. ábra

II. megoldás (a feladat számító részére). Független változónak az alapon levő szög felét,

z

-t véve

0^{\circ} < z < 45^{\circ}

, az 1. ábrán

B F = cos 2 z

, és így

\begin{matrix} ϱ = O F = B F tg z = (2 cos^{2} z - 1) tg z = sin 2 z - tg z, \\ ϱ' = 2 cos 2 z - \frac{1}{cos^{2} z} = \frac{4 cos^{4} z - 2 cos^{2} z - 1}{cos^{2} z} = \\ = \frac{4 cos^{2} z + \sqrt[]{5} - 1}{4 cos^{2} z} [4 cos^{2} z - (\sqrt[]{5} + 1)], \end{matrix}

ami csak akkor tűnik el, ha

\begin{matrix} cos^{2} z = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{4} (> \frac{1}{2}), cos z_{0} = \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{5} + 1}{4}}, \end{matrix}

2 z_{0} = 51^{\circ} 50'

, hiszen az elöl álló tört mindig pozitív. A cosinus függvény

z_{0}

környezetében monoton csökkenő, így a

[]

-beli tényező is,

z < z_{0}

esetén

ϱ' > 0

z > z_{0}

esetén

ϱ' < 0

, tehát maximum van. Az alap hosszára ebből is

B C = 2 cos 2 z_{0} = 4 cos^{2} z_{0} - 2 = \sqrt[]{5} - 1

adódik.

Chikán Bálint (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.)