Feladat: F.1656 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beck J. ,  Chikán Bálint ,  Csetényi Artúr ,  Csörgő L. ,  Donga Gy. ,  Feind F. ,  Fejes G. ,  Fialovszky Alice ,  Fülöp V. ,  Füredi A. ,  Gál P. ,  Galántai A. ,  Görömbölyi L. ,  Hadik R. ,  Hetzer J. ,  Horváth F. ,  István Mária ,  Kálmán M. ,  Kóczy L. ,  Komjáth P. ,  Komornik V. ,  Krasznai A. ,  László I. ,  Lázár A. ,  Légrády G. ,  Pál J. ,  Papp L. ,  Sailer K. ,  Schűgerl Márta ,  Siegler A. ,  Somorjai G. ,  Szalay Csilla ,  Szalontai Á. ,  Szamosújvári S. ,  Tarsó B. ,  Tóth Z. 
Füzet: 1969/november, 125 - 127. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényvizsgálat, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Beírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/március: F.1656

Keressük meg az egységnyi szárhosszúságú egyenlő szárú háromszögek közül azt, amelybe beírt kör átmérője a legnagyobb. Szerkesszük is meg ezt a háromszöget.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) A beírt kör 2ϱ átmérőjét a változó x alap függvényeként fejezzük ki az ismert ϱ=t/s összefüggés felhasználásával (m a tengelybeli magasság, 1. ábra):

2ϱ=2ts=4t2s=2xm2+x=x2+x4-x2=x2-x2+x.(1)
 

 

1. ábra
 

Természetesen csak az x>0 értékekre értelmezzük a függvényt, így 2ϱ>0, tehát ugyanannál az x értéknél van maximuma ‐ ha egyáltalán van ‐, mint négyzetének, az
y=(2ϱ)2=x2(2-x)2+x=2x2-x3x+2
függvénynek, ezt fogjuk keresni.
Szélső érték csak ott lehet, ahol a derivált eltűnik:
y'=(4x-3x2)(x+2)-(2x2-x3)1(x+2)2==-2x(x2+2x-4)(x+2)2=-2x(x+5+1)(x+2)2(x+1-5)=0,


ami az x>0 korlátozás miatt csak az
x0=5-1(1,236)(2)
helyen következik be, hiszen az utolsó alak elöl álló törtjében a változó tényezők pozitívok, és a tört állandóan negatív.
A mondott helyen maximum van, mert x<x0 esetén x+1-5<0, tehát y'>0, ha pedig x>x0, akkor y'<0. A maximum értéke (2) és (1) alapján 2ϱmax=105-220,601.
b) A szerkesztés: derékszögű háromszöget szerkesztünk 1 és 2 befogókkal, a 5 átfogóra egyik végpontjából egységnyi hosszúságot mérünk fel, és az így maradó x0 alap fölé 1 szárral egyenlő szárú háromszöget szerkesztünk (2. ábra).
 

 

2. ábra
 

Csetényi Artúr (Szeged, Radnóti M. Gimn., I. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A közvetett függvény deriválási szabálya alapján (1) jobb oldalának deriváltjából is megállapíthatjuk a szélső érték helyét:
(2ϱ)'=2-x2+x+x122+x2-x-(2+x)-(2-x)(2+x)2==2-x2+x(1-2x4-x2)=2-x2+x4-2x-x24-x2.



2. Felismerve, hogy a maximumra vezető x0 alap 2-szer akkora, mint az egységsugarú körbe írt szabályos tízszög oldala, a kívánt háromszöget megszerkeszthetjük a szabályos ötszög szerkesztésére sokak által ismert Ptolemaiosz‐Dürer-féle eljárás utolsó lépésének módosításával is (3. ábra).
 

 

3. ábra
 

II. megoldás (a feladat számító részére). Független változónak az alapon levő szög felét, z-t véve 0<z<45, az 1. ábrán BF=cos2z, és így
ϱ=OF=BFtgz=(2cos2z-1)tgz=sin2z-tgz,ϱ'=2cos2z-1cos2z=4cos4z-2cos2z-1cos2z==4cos2z+5-14cos2z[4cos2z-(5+1)],


ami csak akkor tűnik el, ha
cos2z=5+14(>12),cosz0=5+14,
2z0=5150', hiszen az elöl álló tört mindig pozitív. A cosinus függvény z0 környezetében monoton csökkenő, így a []-beli tényező is, z<z0 esetén ϱ'>0, z>z0 esetén ϱ'<0, tehát maximum van. Az alap hosszára ebből is BC=2cos2z0=4cos2z0-2=5-1 adódik.
Chikán Bálint (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.)