A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A lapok egybevágóságából következik, hogy a tetraéder bármelyik két szemben levő ‐ azaz közös csúccsal nem bíró ‐ éle egyenlő hosszú. Ez nyilvánvaló akkor, ha az tetraéder egy lapja egyenlő oldalú háromszög. Ha a , , alapélek között van két különböző, pl. , akkor a közös oldalú és háromszögek csak úgy lehetnek egybevágók, ha vagy -vel vagy -vel egyenlő (1. ábra).
1. ábra Az első esetből továbbmenve , így azonban az háromszög nem lehet egybevágó az háromszöggel, mert mindkettő egyenlő szárú, és a két szárhossz különböző. Ezért , amint állítottuk. A tetraéder súlypontján súlyvonalainak metszéspontját értjük, egy súlyvonalán pedig egyik csúcsát a szemben levő lapháromszög súlypontjával összekötő egyenest. Megmutatjuk, hogy a négy súlyvonal valóban egy pontban metszi egymást. Legyen a és lapok súlypontja , ill. , és közös élük felezőpontja . Ekkor az , súlyvonalak benne vannak az síkban, hiszen a (lapbeli) súlyvonalon, pedig az súlyvonalon van, éspedig ezeknek -hez közelebbi harmadoló pontja. Ezért az háromszög 1:3 arányú kicsinyítettje az háromszögnek -ből mint középpontból, tehát , . Így az négyszög trapéz, átlóinak ‐ a tetraéder kiszemelt súlyvonalainak ‐ metszéspontját -sel jelölve és hasonló háromszögek, és | | , . Eszerint bármely tetraéder bármelyik két súlyvonala úgy metszi egymást, hogy a metszéspont a súlyvonalnak a laphoz közelebbi negyedelő pontjában van, tehát az súlyvonalat a további két súlyvonal is ugyanott metszi. Ezt akartuk bizonyítani. Esetünkben , mert egybevágó háromszögek egymásnak megfelelő ‐ ti. a közös oldalhoz tartozó ‐ súlyvonalai, ezért az imént felhasznált trapéz szimmetrikus, és így . Ugyanezzel a meggondolással az , háromszög-pár egybevágóságából , és hasonlóan , így az körül sugárral írt gömb átmegy a tetraéder mindegyik csúcsán, tehát a feladat állítása igaz. II. megoldás. Támaszkodunk az súlypontnak az I. megoldásban bebizonyított tulajdonságaira. Fordítsuk bele a -ben összefutó , , oldallapot rendre a , , alapél körül az alaplap síkjába, éspedig úgy, hogy egyik se fedje az alaplapot; legyen új helyzete rendre , , (2. ábra).
2. ábra Ekkor a egyenes átmegy -n, mert az , félegyenesek közti szög egyenlő az háromszög szögeinek összegével. Egyszersmind felezi a szakaszt, így az háromszög a háromszög középháromszöge, így súlypontjuk közös, és a -ből úgy is előáll, ha azt az pontra tükrözzük, majd a képét ugyancsak -ből mint középpontból a kétszeresére nagyítjuk. Az oldallapokat alapélük körül forgatva a háromszög csúcsa a -ból -re bocsátott merőlegesnek szakasza fölött halad, ahol a pontnak a egyenesen levő vetülete. Ez -nek magasságvonala, hiszen . Ugyanígy a visszaforgatás folyamán a , ill. magasságszakasz fölött halad , tehát csak e szakaszok közös pontja fölött lehet, és csak akkor jön létre, ha a magasságszakaszoknak van közös pontja, vagyis ha az háromszög hegyesszögű. A közös pont a háromszög magasságpontja. Hegyesszögű háromszögből kiindulva viszont mindig létrejön. Ebből kapjuk, hogy a tetraéder súlypontjának a síkján levő vetülete negyedeli az szakaszt, ennélfogva azt kell belátnunk, hogy a köré írt kör középpontja, hiszen csak így lehet egyenlő távolságra csúcsaitól. Ehhez elég belátnunk, hogy a fenti két transzformáció útján áll elő a köré írt kör középpontjából. Valóban, , és a -nek Euler-féle egyenesén a mondott sorrendben úgy feküsznek, hogy , ezért a fentiek szerint is az egyenesen van, az szakasz -n túli meghosszabbításán, és . Ezt akartuk bizonyítani, ebből . Meggondolásunkat a tetraéder egy másik lapján megismételve adódik, hogy -nek -től való távolsága egyenlő az előbbi 3 távolsággal. Evvel az állítást bebizonyítottuk. III. megoldás. A súlypont negyedelő tulajdonsága folytán elég belátnunk, hogy a tetraéder súlyvonalai egyenlő hosszúak. Ez az 1121. gyakorlatban bebizonyított tételből adódik, ugyanis esetünkben | | és ugyanez adódik mindegyik súlyvonalra. IV. megoldás. Legyenek a tetraéder csúcsainak helyvektorai ekkor ‐ mint ismeretes ‐ a tetraéder súlypontjának helyvektora | | Az utóbbi alakból kiolvasható, hogy az szakasz és a szakasz felezőpontjai közti szakasznak is a felezőpontja. Eszerint bármely tetraéder súlypontja felezi a szemközti él-párjainak felezőpontjai közti szakaszokat. Tükrözzük a tetraédert -re, kapjuk a tetraédert. A fentiek alapján az szakasz felezőpontja azonos a szakasz felezőpontjával, tehát paralelogramma. Hasonlóan paralelogramma az , négyszög is, és ezek -re vonatkozó , tükörképe is, valamint az négyszög. A felsorolt lap egy paralelepipedont határol, melynek a középpontja (3. ábra).
3. ábra A feladat feltevése szerint szemközti élei egyenlők, ezért lapjain az átlók páronként egyenlők, lapjai tehát téglalapok és téglatest. Ámde a téglatest testátlói egyenlők, tehát a -nek mindegyik csúcsától, így csúcsaitól is egyenlő távol van. Ezt kellett bizonyítanunk. Megjegyzés. Megoldásunk alapján bármely téglatestből származtatható egy a feltételeknek megfelelő tetraéder, ennek csúcsai: -nek egy csúcsa és a benne összefutó lapnak -val szemben levő csúcsa. ‐ Ha élei , , , különbözők, akkor a tetraéder szemben fekvő élpárjai szintén különbözők, és a belőlük alkotott háromszög hegyesszögű, mert pl. az első kettő közti szögre | | V. megoldás. A 2. ábrán a tetraéder lapjaira belülről tekintünk rá. Ebből azt is látjuk, hogy a lap megfelelő csúcsait ugyanabban a sorrendben körüljárva ugyanolyan forgási irányban járjuk körül a lapokat. Eszerint ugyanez áll akkor is, ha a lapokra kívülről nézünk. Így pedig a tetraédert bármelyik lapjánál fogva az eredeti helyére állíthatjuk, az illető lap csúcsait az alap megfelelő csúcsaihoz illesztve, és ekkor a . csúcs helyét az alap csúcsaitól mért távolság egyértelműen meghatározza, tehát a . csúcs is illeszkedik az eredeti tetraéder alapjával szemközti csúcsához. Ebből ismét adódik, hogy a súlyvonal egyenlő. Megjegyzés. A mondottakból az is következik, hogy a szóban forgó tulajdonságú tetraéderek súlypontja a laptól is egyenlő távolságra van, tehát a súlypont egyszersmind a beírt gömbnek is középpontja. Ezek szerint van olyan, nem szabályos háromszöglapokkal határolt tetraéder, melyben a látott nevezetes pont egybeesik. (A síkban viszont a súlypont, a körülírt, valamint a beírt kör középpontjai közül bármelyik kettőnek az egybeeséséből következik, hogy a háromszög szabályos.) Lásd a megoldást K. M. L. 35 (1967) 216. o. |