Feladat: 1563. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csetényi A. ,  Dobos K. ,  Draschitz R. ,  Katona Viktor ,  Maróti P. ,  Martoni V. ,  Mészáros J. ,  Nagy A. ,  Nagy D. ,  Nagy Zs. ,  Nikodémusz Anna ,  Pataki I. ,  Sax Gy. ,  Somogyi Á. ,  Somogyi Kornélia ,  Terjéki J. ,  Tóth I. 
Füzet: 1968/november, 111 - 114. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Interpoláció, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/november: 1563. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. f(x) három ismeretlen együtthatójának meghatározására a 3 követelményből egyenletrendszert kapunk.

f(0)=c+π4b+π216a=sinπ41=sin0=0,f(π4)=c+π4b+π216a=sinπ4=12,f(π2)=c+π2b+π24a=sinπ2=1.
Ezt a szokott módon megoldva
a=-8(2-1)π2-0,336,b=42-2π1,164,c=0,
és így a keresett függvény (1. ábra):
f(x)=42-2πx-8(2-1)π2x2.
 

 

1. ábra
 

Az f(x)-sinx különbség értékét az előírt helyek növekvő sorrendjében a táblázat tartalmazza. Összehasonlításul beiktattuk az előírt megegyezési helyeket is. Látjuk, hogy az utóbbi 3 hely között a kérdéses eltérés abszolút értéke aránylag kicsi, a balra és jobbra fölvett 22 helyen viszont nagyobb.
 


MxMMMMMf(x)-sinxközelítő értéke-π/41-2-0,414|-π/6(19-162)/18-0,2020nnn0-0π/6(82-11)/18+0,017π/4nnn0-0π/3(82+4-93)/18-0,015π/2nnn0-02π/3(40-162-93)/18MMMMMM+0,0993π/43-22+0,172
 

II. Hasonlóan a keresett g(x) függvényre a g(0)=0 előírás folytán mindjárt d=0, a további 3 helyből
g(π12)=π12c+(π12)2b+(π12)3a=6-24,g(π6)=π6c+(π6)2b+(π6)3a=12,g(π4)=π4c+(π4)2b+(π4)3a=22.
Az első egyenlet 8-szorosából a másodikat, majd ismét az elsőnek a 27-szereséből a harmadikat kivonva az a-t tartalmazó tagok kiesnek:
π2c+π236b=26-22-12,2πc+π28b=276-2924.


Innen
c=1π(96-9-72)1,0014,b=18π2(8+32-56)-0,0088,
ezekkel a fentiekből
a=72π3(36-2-6)-0,1527,
amikkel g(x) így is írható (2. ábra a 114. oldalon):
g(x)=(96-9-72)xπ+18(8+32-56)(xπ)2+72(36-2-6)(xπ)3.
 

 

2. ábra
 

Ezekkel a g(x)-sinx különbség értéke az előírt, a g(x) képezésében felhasznált helyeken és még két helyen e helyek növekedő rendjében:
 


xMMMMMMMg(x)-sinxközelítő értéke-π/2-90262+95,5-546-0,003-π/3-6035+112+123-216MMM-0,017-π/4-4594(8+32-56)-0,011-π/6-308+32-56-0,0048-π/12-1514(8+32-56)-0,00120000π/12+15000,4-1522,92-0,00005*π/63000π/44500π/3606+2-3-123-0,0023π/29096+2-23,5-0,04042π/3MM120306-70-22-123-0,21
 

A talált különbségek általában kisebbek, mint f(x) esetében.
Katona Viktor (Heves, Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A *-gal jelölt értéket a, b, c nagyobb pontosságú közelítő értékei alapján számítottuk.
2. A g(x)=x1,0014-x20,0088-x30,1527
közelítő függvény elég jó közelítése a többek által ismert
sinx=x-x36+x5120-...
sorfejtés első két tagjának is.