A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Az egységkörbe írt szabályos -szög oldala . A feladat azt állítja, hogy az (1) kifejezés közelítő értéke ennek, továbbá, hogy még közelebb áll ahhoz az értékhez, amit a húr hosszára kapunk, ha középponti szögként -nek szögmásodperccel megnövelt vagy csökkentett értékét vesszük, vagyis az oldal képletében -et a -cel nagyobb vagy kisebb szöggel pótoljuk. szögmásodperc a -nál -szor kisebb, így ívmértéke közelítőleg . (2) alapján várható, hogy a megváltoztatott szög színusza is ilyen nagyságrendű értékkel tér el -től, ezért elég lesz és megváltoztatandó értéke színuszát tizedes számjegyre meghatároznunk. Azt, hogy -et növelnünk vagy csökkentenünk kell-e -cel, abból fogjuk látni, hogy kisebbnek, ill. nagyobbnak adódott-e (1)-nél. (1) és (2) egyes tagjait pedig tizedesre fogjuk számítani. A pozitív tagokat mindig lekerekítjük, a negatívok abszolút értékét fölfelé, így alsó közelítő értékét kapjuk a számítandó kifejezéseknek. A kérdéses húr számítása (1)-ből
| | (3) | (2)-ben először és ; az egymás utáni tagok számlálóját az utóbbival való szorzás útján kapjuk, a nevező pedig rendre -szor, -szor, -szer nagyobb az előző nevezőnél. Eszerint a másodiktól kezdve minden tag abszolút értéke az előző tag abszolút értékének legfeljebb része, azaz kisebb, mint annak része. A váltakozó előjelekre is tekintve mondhatjuk, hogy a számításban (2) valamely tagja után megállva, azaz elhagyva az összes további tagokat, az elkövetett hiba abszolút értéke kisebb, mint az utolsó megtartott tag része és a hiba e taggal ellentett irányú. Egyszerű becslés szerint az tag még nagyobb, az tag viszont már kisebb a megtartandó utolsó számjegy helyi értékénél, -nál, tehát 4 tagot kell kiszámítanunk. Ezek:
A figyelmen kívül hagyott tagok összege ‐ a fentinél valamivel finomabb becsléssel ‐ kisebb, mint , lefelé kerekítjük, mert az tag pozitív lenne, -t írunk helyette. Itt és minden egyes kiszámított tag kerekítésénél legföljebb hibát követtünk el, így | | a hetedik tizedesjegy vagy . Ezt (3)-hoz hasonlítva látjuk, hogy (1) a beírt szabályos -szög oldalának felső közelítő értéke, ezért tervezett második számításunkban -et növelnünk kell -nal (lekerekítve). A viszonylag csekély eltérésre tekintettel e számításban felhasználjuk a fenti számítást. Elég a 4 tag egyenkénti növekedését megállapítanunk. A második tagtól kezdve csak azt állapítjuk meg, hányszor akkora az új tag, mint a megfelelője, ugyanis a növelés kisebb, mint a fenti -nek része. Pontosabban | | Így az új második tag nem lehet több, mint az előbbinek -szöröse, az új 3. tag pedig legalább annyi, mint az előbbinek -szerese. E szorzók egy felső, ill. alsó közelítő értéke:
A fenti 2. tag -szerese, tizedesre fölkerekítve a tag mellett látható, a 3. tag -szerese lefelé kerekítve , hasonlóan a 4. tag sem változik. A kerekítés hibája ismét minden tagban legföljebb , így | | a hetedik tizedesjegy vagy . Ennyi a -cel növelt középponti szöghöz tartozó húr hosszának fele. Ezt (3)-mal összehasonlítva, az állítás elfogadható, az eltérés valamivel nagyobb is lehet -nél, mindenesetre közel áll hozzá. II. Kissé másképpen, nem sokkal több munkával számíthatjuk értékét az addíció-tétel alapján, ha (2) alapján kiszámítjuk , valamint a függvénytáblázatban található | | (4) | kifejezés alapján és értékét is. tizedesre kerekítve ; ; tizedesre így második tagja , első tagja pedig , vagyis az eltérésre nem tekintve egyenlő a fenti növekedéssel. A húrhoz tartozó középponti szögnek és -nek eltérését meghatározhatnók valamely elég nagy többszörösük eltéréséből is, ebben ugyanis a hiba is ugyanannyiszorosára nő. Elvileg egyszerű -szeresük szinuszát tekinteni, hiszen ekkor -t hasonlítjuk -hoz; számítani viszont elég lenne -szeresüket, azaz a különbséget. Pl. a
azonosságok alapján
ahol az (1) kifejezésből, közös nevezőre hozással és felezéssel | | (azaz racionális szám).
Csörgei József (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.) Draschitz Rudolf (Budapest, Landler J. Gépip. és Híradásip. Techn. III. o. t.) Gegesy Ferenc (Budapest, Móricz Zs. g. II. o. t.) Megjegyzés. Magát a húrhoz tartozó középponti szöget ‐ azaz először a felét ‐ számíthatjuk ki a (2)-höz és (4)-hez hasonló | | hatványsor alapján az értékből: Ennek többlete fenti értékéhez képest . Itt azonban tagra volt szükség, és az elhagyott további tagok összegének becslése nehezebb amiatt, mert minden tag pozitív.
Dombi József (Szeged, Ságvári E. gyak. g. IV. o. t.) |