Kezdőlap


Feladat:	1508. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bulkai Tamás , Csóka G. , Csörgei József , Dombi József , Draschitz Rudolf , Gegesy Ferenc , Horváth S. , Joó István , Kóczy L. , Losonci Zoltán , Lublóy L. , Moson Péter , Munk Sándor , Nagy Zsigmond , Perémy Gábor , Pintz János , Takács László
Füzet:	1967/november, 128 - 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Polinomok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/január: 1508. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az egységkörbe írt szabályos $11$ -szög oldala $2 sin π / 11$ . A feladat azt állítja, hogy az (1) kifejezés közelítő értéke ennek, továbbá, hogy még közelebb áll ahhoz az értékhez, amit a húr hosszára kapunk, ha középponti szögként $2 π / 11$ -nek $0, 5$ szögmásodperccel megnövelt vagy csökkentett értékét vesszük, vagyis az oldal képletében $π / 11$ -et a $0, 25''$ -cel nagyobb vagy kisebb szöggel pótoljuk. $0, 25$ szögmásodperc a $180^{\circ}$ -nál $180 \cdot 60 \cdot 60 \cdot 4 \approx 2, 6 \cdot 10^{6}$ -szor kisebb, így ívmértéke közelítőleg $1, 2 \cdot 10^{- 6}$ . (2) alapján várható, hogy a megváltoztatott szög színusza is ilyen nagyságrendű értékkel tér el $sin π / 11$ -től, ezért elég lesz $π / 11$ és megváltoztatandó értéke színuszát $7$ tizedes számjegyre meghatároznunk. Azt, hogy $π / 11$ -et növelnünk vagy csökkentenünk kell-e $0, 25''$ -cel, abból fogjuk látni, hogy $sin π / 11$ kisebbnek, ill. nagyobbnak adódott-e (1)-nél. (1) és (2) egyes tagjait pedig $8$ tizedesre fogjuk számítani. A pozitív tagokat mindig lekerekítjük, a negatívok abszolút értékét fölfelé, így alsó közelítő értékét kapjuk a számítandó kifejezéseknek.
A kérdéses $h$ húr számítása (1)-ből

\begin{matrix} 1 / 3 = & 0, 333 333 33 \\ 1 / 5 = & 0, 2 \\ 1 / 51 = & 0, 019 607 84 \\ 1 / 95 = & \underset{̲}{0, 010 526 31} \\ 0, 563 467 48 tehát \end{matrix}

\begin{matrix} 0, 281 733 74 < h / 2 < 0, 281 733 76. \end{matrix}

(3)

(2)-ben először

x = π / 11 = 0, 285 599 33

és

x^{2} = π^{2} / 121 = 0, 081 566 97

; az egymás utáni tagok számlálóját az utóbbival való szorzás útján kapjuk, a nevező pedig rendre

2 \cdot 3 = 6

-szor,

4 \cdot 5 = 20

-szor,

6 \cdot 7 = 42

-szer

...

nagyobb az előző nevezőnél. Eszerint a másodiktól kezdve minden tag abszolút értéke az előző tag abszolút értékének legfeljebb

x^{2} / 6 \approx 0, 0136

része, azaz kisebb, mint annak

1 / 70

része. A váltakozó előjelekre is tekintve mondhatjuk, hogy a számításban (2) valamely tagja után megállva, azaz elhagyva az összes további tagokat, az elkövetett hiba abszolút értéke kisebb, mint az utolsó megtartott tag

1 / 70

része és a hiba e taggal ellentett irányú. Egyszerű becslés szerint az

x^{7} / 7!

tag még nagyobb, az

x^{9} / 9!

tag viszont már kisebb a megtartandó utolsó számjegy helyi értékénél,

1 \cdot 10^{- 8}

-nál, tehát 4 tagot kell kiszámítanunk. Ezek:

\begin{matrix} változása \\ x & 0, 285 599 33 & 0, 000 001 21 \\ - x^{3} / 6 & - 0, 003 882 58 & - 0, 000 000 06 \\ + x^{5} / 120 & + 0, 000 015 83 & 0 \\ - x^{7} / 7! & \underset{̲}{- 0, 000 000 04} & 0 \\ 0, 281 732 54 & \bar{0, 000 001 15} \end{matrix}

A figyelmen kívül hagyott tagok összege ‐ a fentinél valamivel finomabb becsléssel ‐ kisebb, mint

x^{9} / 9! < 4 \cdot 10^{- 8} \cdot x^{2} / 8 \cdot 9 < 4 \cdot 10^{- 8} \cdot 0, 09 / 8 \cdot 9 = 5 \cdot 10^{- 11}

, lefelé kerekítjük, mert az

x^{9} / 9!

tag pozitív lenne,

0

-t írunk helyette. Itt és minden egyes kiszámított tag kerekítésénél legföljebb

1 \cdot 10^{- 8}

hibát követtünk el, így

\begin{matrix} 0, 281 732 54 < sin π / 11 < 0, 281 732 59, \end{matrix}

a hetedik tizedesjegy

5

vagy

6

.
Ezt (3)-hoz hasonlítva látjuk, hogy (1) a beírt szabályos

11

-szög oldalának felső közelítő értéke, ezért tervezett második számításunkban

x

-et növelnünk kell

ε = π / (180 \cdot 60 \cdot 60 \cdot 4) \approx 121 \cdot 10^{- 8}

-nal (lekerekítve).
A viszonylag csekély eltérésre tekintettel e számításban felhasználjuk a fenti számítást. Elég a 4 tag egyenkénti növekedését megállapítanunk. A második tagtól kezdve csak azt állapítjuk meg, hányszor akkora az új tag, mint a megfelelője, ugyanis a növelés kisebb, mint a fenti

x

-nek

5 \cdot 10^{- 7}

része.
Pontosabban

\begin{matrix} 42 \cdot 10^{- 7} < \frac{121 \cdot 10^{- 8}}{0,282} < \frac{ε}{x} < \frac{122 \cdot 10^{- 8}}{0, 281} < 44 \cdot 10^{- 7} . \end{matrix}

Így az új második tag nem lehet több, mint az előbbinek

1, 000 004 4^{3}

-szöröse, az új 3. tag pedig legalább annyi, mint az előbbinek

1, 000 004 2^{5}

-szerese. E szorzók egy felső, ill. alsó közelítő értéke:

\begin{matrix} {(1 + 44 \cdot 10^{- 7})}^{3} = 1 + 3 \cdot 44 \cdot 10^{- 7} + 3 \cdot 44^{2} \cdot 10^{- 14} + 44^{3} \cdot 10^{- 21} < \\ < 1 + 132 \cdot 10^{- 7} + 1 \cdot 10^{- 10} + 1 \cdot 10^{- 16} < 1 + 133 \cdot 10^{- 7} \\ {(1 + 42 \cdot 10^{- 7})}^{5} > 1 + 5 \cdot 42 \cdot 10^{- 7} = 1 + 210 \cdot 10^{- 7} . \end{matrix}

A fenti 2. tag

133 \cdot 10^{- 7}

-szerese,

8

tizedesre fölkerekítve a tag mellett látható, a 3. tag

210 \cdot 70^{- 7}

-szerese lefelé kerekítve

0

, hasonlóan a 4. tag sem változik. A kerekítés hibája ismét minden tagban legföljebb

1 \cdot 10^{- 8}

, így

\begin{matrix} 0, 281 733 69 < sin (ε + π / 11) < 0, 281 733 78, \end{matrix}

a hetedik tizedesjegy

7

vagy

8

. Ennyi a

0, 5''

-cel növelt középponti szöghöz tartozó húr hosszának fele.
Ezt (3)-mal összehasonlítva, az állítás elfogadható, az eltérés valamivel nagyobb is lehet

0, 5''

-nél, mindenesetre közel áll hozzá.
II. Kissé másképpen, nem sokkal több munkával számíthatjuk

sin (ε + π / 11)

értékét az addíció-tétel alapján, ha (2) alapján kiszámítjuk

sin ε

, valamint a függvénytáblázatban található

\begin{matrix} cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + ... \end{matrix}

(4)

kifejezés alapján

cos π / 11

és

cos ε

értékét is.

8

tizedesre kerekítve

sin ε = 0, 000 001 21

;

cos ε = 1, 000 000 00

;

5

tizedesre

\begin{matrix} 0, 959 49 < cos π / 11 < 0, 959 50, \end{matrix}

így

sin (ε + π / 11)

második tagja

sin π / 11

, első tagja pedig

sin ε cos π / 11 = 116 \cdot 10^{- 8}

, vagyis az

1 \cdot 10^{- 8}

eltérésre nem tekintve egyenlő a fenti növekedéssel.
A

h

húrhoz tartozó

2 φ

középponti szögnek és

2 π / 11

-nek eltérését meghatározhatnók valamely elég nagy többszörösük eltéréséből is, ebben ugyanis a hiba is ugyanannyiszorosára nő. Elvileg egyszerű

11

-szeresük szinuszát tekinteni, hiszen ekkor

sin 22 φ

-t hasonlítjuk

0

-hoz; számítani viszont elég lenne

11 / 2

-szeresüket, azaz a

sin 11 φ - 0

különbséget. Pl. a

\begin{matrix} sin 3 φ = 3 sin φ - 4 sin^{3} φ = sin φ (3 - 4 sin^{2} φ) = sin φ (4 cos^{2} φ - 1), \\ cos 3 φ = 4 cos^{3} φ - 3 cos φ = cos φ (4 cos^{2} φ - 3), \\ sin 2 φ = 2 sin φ cos φ, cos 2 φ = 2 cos^{2} φ - 1 \end{matrix}

azonosságok alapján

\begin{matrix} sin 11 φ = sin (9 φ + 2 φ) = ... = sin φ (1024 cos^{10} φ - \\ - 2304 cos^{8} φ + 1792 cos^{6} φ - 560 cos^{4} φ + 60 cos^{2} φ - 1), \end{matrix}

ahol az (1) kifejezésből, közös nevezőre hozással és felezéssel

\begin{matrix} sin φ = \frac{91}{323}, cos^{2} φ = 1 - \frac{91^{2}}{323^{2}} = \frac{414 \cdot 232}{323^{2}} \end{matrix}

(azaz

sin 11 φ

racionális szám).

Csörgei József (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)
Draschitz Rudolf (Budapest, Landler J. Gépip. és Híradásip. Techn. III. o. t.)
Gegesy Ferenc (Budapest, Móricz Zs. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Magát a

h

húrhoz tartozó középponti szöget ‐ azaz először a felét ‐ számíthatjuk ki a (2)-höz és (4)-hez hasonló

\begin{matrix} arc sin x = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^{5}}{5} + \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{x^{7}}{7} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} \cdot \frac{x^{9}}{9} + ... \end{matrix}

hatványsor alapján az

x = h / 2 = 91 / 323

értékből:

\begin{matrix} arc sin 91 / 323 = 0, 285 600 57. \end{matrix}

Ennek többlete

π / 11

fenti értékéhez képest

124 \cdot 10^{- 8} \approx 0, 254''

. Itt azonban

6

tagra volt szükség, és az elhagyott további tagok összegének becslése nehezebb amiatt, mert minden tag pozitív.

Dombi József (Szeged, Ságvári E. gyak. g. IV. o. t.)