Feladat: 1508. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bulkai Tamás ,  Csóka G. ,  Csörgei József ,  Dombi József ,  Draschitz Rudolf ,  Gegesy Ferenc ,  Horváth S. ,  Joó István ,  Kóczy L. ,  Losonci Zoltán ,  Lublóy L. ,  Moson Péter ,  Munk Sándor ,  Nagy Zsigmond ,  Perémy Gábor ,  Pintz János ,  Takács László 
Füzet: 1967/november, 128 - 131. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Polinomok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/január: 1508. matematika feladat

Azt olvastuk, hogy az
13+15+151+195(1)
hosszúságú szakasz jó közelítő értéke az egységnyi sugarú körbe írt szabályos 11-szög oldalának, a körbe írt ekkora húrhoz tartozó középponti szög csak 0,5'' körüli értékkel tér el 360/11-től. Ellenőrizzük az állítást sinπ/11 kellő pontosságú kiszámítás útján. Felhasználhatjuk az iskolai függvénytáblázat képlettárában található
sinx=x1!-x33!+x55!-x77!+x99!-...(2)
kifejezést, ahol x a szög ívmértékét, n! az 1-től n-ig terjedő természetes számok szorzatát jelenti, ugyanonnét a π=3,1415926535897... adatot, valamint a következőt: π2=9,869604401089...‐ Javasoljunk más eljárást is az ellenőrzésre (nem szükséges végrehajtani).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az egységkörbe írt szabályos 11-szög oldala 2sinπ/11. A feladat azt állítja, hogy az (1) kifejezés közelítő értéke ennek, továbbá, hogy még közelebb áll ahhoz az értékhez, amit a húr hosszára kapunk, ha középponti szögként 2π/11-nek 0,5 szögmásodperccel megnövelt vagy csökkentett értékét vesszük, vagyis az oldal képletében π/11-et a 0,25''-cel nagyobb vagy kisebb szöggel pótoljuk. 0,25 szögmásodperc a 180-nál 180606042,6106-szor kisebb, így ívmértéke közelítőleg 1,210-6. (2) alapján várható, hogy a megváltoztatott szög színusza is ilyen nagyságrendű értékkel tér el sinπ/11-től, ezért elég lesz π/11 és megváltoztatandó értéke színuszát 7 tizedes számjegyre meghatároznunk. Azt, hogy π/11-et növelnünk vagy csökkentenünk kell-e 0,25''-cel, abból fogjuk látni, hogy sinπ/11 kisebbnek, ill. nagyobbnak adódott-e (1)-nél. (1) és (2) egyes tagjait pedig 8 tizedesre fogjuk számítani. A pozitív tagokat mindig lekerekítjük, a negatívok abszolút értékét fölfelé, így alsó közelítő értékét kapjuk a számítandó kifejezéseknek.
A kérdéses h húr számítása (1)-ből

1/3=0,333333331/5=0,21/51=0,019607841/95=0,01052631̲0,56346748tehát
0,28173374<h/2<0,28173376.(3)
(2)-ben először x=π/11=0,28559933 és x2=π2/121=0,08156697; az egymás utáni tagok számlálóját az utóbbival való szorzás útján kapjuk, a nevező pedig rendre 23=6-szor, 45=20-szor, 67=42-szer ... nagyobb az előző nevezőnél. Eszerint a másodiktól kezdve minden tag abszolút értéke az előző tag abszolút értékének legfeljebb x2/60,0136 része, azaz kisebb, mint annak 1/70 része. A váltakozó előjelekre is tekintve mondhatjuk, hogy a számításban (2) valamely tagja után megállva, azaz elhagyva az összes további tagokat, az elkövetett hiba abszolút értéke kisebb, mint az utolsó megtartott tag 1/70 része és a hiba e taggal ellentett irányú. Egyszerű becslés szerint az x7/7! tag még nagyobb, az x9/9! tag viszont már kisebb a megtartandó utolsó számjegy helyi értékénél, 110-8-nál, tehát 4 tagot kell kiszámítanunk. Ezek:
változása+x+0,28559933+0,00000121-x3/6-0,00388258-0,00000006+x5/120+0,00001583+0,00000000-x7/7!-0,00000004̲+0,00000000+0,28173254+0,00000115¯
A figyelmen kívül hagyott tagok összege ‐ a fentinél valamivel finomabb becsléssel ‐ kisebb, mint x9/9!<410-8x2/89<410-80,09/89=510-11, lefelé kerekítjük, mert az x9/9! tag pozitív lenne, 0-t írunk helyette. Itt és minden egyes kiszámított tag kerekítésénél legföljebb 110-8 hibát követtünk el, így
0,28173254<sinπ/11<0,28173259,
a hetedik tizedesjegy 5 vagy 6.
Ezt (3)-hoz hasonlítva látjuk, hogy (1) a beírt szabályos 11-szög oldalának felső közelítő értéke, ezért tervezett második számításunkban x-et növelnünk kell ε=π/(18060604)12110-8-nal (lekerekítve).
A viszonylag csekély eltérésre tekintettel e számításban felhasználjuk a fenti számítást. Elég a 4 tag egyenkénti növekedését megállapítanunk. A második tagtól kezdve csak azt állapítjuk meg, hányszor akkora az új tag, mint a megfelelője, ugyanis a növelés kisebb, mint a fenti x-nek 510-7 része.
Pontosabban
4210-7<12110-80,282<εx<12210-80,281<4410-7.
Így az új második tag nem lehet több, mint az előbbinek 1,00000443-szöröse, az új 3. tag pedig legalább annyi, mint az előbbinek 1,00000425-szerese. E szorzók egy felső, ill. alsó közelítő értéke:
(1+4410-7)3=1+34410-7+344210-14+44310-21<<1+13210-7+110-10+110-16<1+13310-7(1+4210-7)5>1+54210-7=1+21010-7.


A fenti 2. tag 13310-7-szerese, 8 tizedesre fölkerekítve a tag mellett látható, a 3. tag 21070-7-szerese lefelé kerekítve 0, hasonlóan a 4. tag sem változik. A kerekítés hibája ismét minden tagban legföljebb 110-8, így
0,28173369<sin(ε+π/11)<0,28173378,
a hetedik tizedesjegy 7 vagy 8. Ennyi a 0,5''-cel növelt középponti szöghöz tartozó húr hosszának fele.
Ezt (3)-mal összehasonlítva, az állítás elfogadható, az eltérés valamivel nagyobb is lehet 0,5''-nél, mindenesetre közel áll hozzá.
II. Kissé másképpen, nem sokkal több munkával számíthatjuk sin(ε+π/11) értékét az addíció-tétel alapján, ha (2) alapján kiszámítjuk sinε, valamint a függvénytáblázatban található
cosx=1-x22!+x44!-x66!+...(4)
kifejezés alapján cosπ/11 és cosε értékét is. 8 tizedesre kerekítve sinε=0,00000121; cosε=1,00000000; 5 tizedesre
0,95949<cosπ/11<0,95950,
így sin(ε+π/11) második tagja sinπ/11, első tagja pedig sinεcosπ/11=11610-8, vagyis az 110-8 eltérésre nem tekintve egyenlő a fenti növekedéssel.
A h húrhoz tartozó 2φ középponti szögnek és 2π/11-nek eltérését meghatározhatnók valamely elég nagy többszörösük eltéréséből is, ebben ugyanis a hiba is ugyanannyiszorosára nő. Elvileg egyszerű 11-szeresük szinuszát tekinteni, hiszen ekkor sin22φ-t hasonlítjuk 0-hoz; számítani viszont elég lenne 11/2-szeresüket, azaz a sin11φ-0 különbséget. Pl. a
sin3φ=3sinφ-4sin3φ=sinφ(3-4sin2φ)=sinφ(4cos2φ-1),cos3φ=4cos3φ-3cosφ=cosφ(4cos2φ-3),sin2φ=2sinφcosφ,cos2φ=2cos2φ-1


azonosságok alapján
sin11φ=sin(9φ+2φ)=...=sinφ(1024cos10φ--2304cos8φ+1792cos6φ-560cos4φ+60cos2φ-1),


ahol az (1) kifejezésből, közös nevezőre hozással és felezéssel
sinφ=91323,cos2φ=1-9123232=4142323232
(azaz sin11φ racionális szám).
 
Csörgei József (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)
Draschitz Rudolf (Budapest, Landler J. Gépip. és Híradásip. Techn. III. o. t.)
Gegesy Ferenc (Budapest, Móricz Zs. g. II. o. t.)
 

Megjegyzés. Magát a h húrhoz tartozó középponti szöget ‐ azaz először a felét ‐ számíthatjuk ki a (2)-höz és (4)-hez hasonló
arcsinx=x+12x33+324x55+35246x77+3572468x99+...
hatványsor alapján az x=h/2=91/323 értékből:
arcsin91/323=0,28560057.
Ennek többlete π/11 fenti értékéhez képest 12410-80,254''. Itt azonban 6 tagra volt szükség, és az elhagyott további tagok összegének becslése nehezebb amiatt, mert minden tag pozitív.
 
 Dombi József (Szeged, Ságvári E. gyak. g. IV. o. t.)