Kezdőlap


Feladat:	1494. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Andor Csaba , Balázs Katalin , Balogh J. , Bihari Katalin , Cseh J. , Csirmaz László , Csörgei J. , Czeizler A. , Dombi J. , Fiala T. , Gács J. , Hegedűs A. , Hunyadvári L. , Juhász Ágnes , Katona Viktor , Kele András , Kóczy László , Kókai J. L. , Komjáthy P. , Kováts A. , Külvári István , Lábady Katalin , Losonci Zoltán , Martoni Viktor , Mérő László , Mitrocsák Anikó , Munk Sándor , Nagy Zs. , Nédai L. , Perémy Gábor , Pintz János , Schreiber Gy. , Siklósi I. , Szűcs A. , Takács L. , Tátray P. , Török B. , Vályi I. , Vetier András , Vizvári B.
Füzet:	1967/október, 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/november: 1494. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tangens-függvény addíció tételének ismételt alkalmazásával

\begin{matrix} tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α} = \frac{\frac{2}{7}}{1 - \frac{1}{49}} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24} (ami < 1); \\ tg (2 α + β) = \frac{tg 2 α + tg β}{1 - tg 2 α \cdot tg β} = \frac{\frac{7}{24} + \frac{3}{79}}{1 - \frac{7}{24} \cdot \frac{3}{79}} = \frac{625}{1875} = \frac{1}{3} (ami < 1); \\ tg (4 α + 2 β) = \frac{2 tg (2 α + β)}{1 - {tg}^{2} (2 α + β)} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4} (ami < 1); \\ tg (5 α + 2 β) = \frac{tg (4 α + 2 β) + tg α}{1 - tg α \cdot tg (4 α + 2 β)} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}} = \frac{25}{25} = 1, \end{matrix}

amiből

5 α + 2 β = 45^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}

. Másrészt, a részeredmények felhasználásával

\begin{matrix} 0^{\circ} < α < 90^{\circ} és tg α < 1, ezért 0^{\circ} < α < 45^{\circ}; \\ így & 0^{\circ} < 2 α < 90^{\circ}, de tg 2 α < 1, ezért 0^{\circ} < 2 α < 45^{\circ} . \end{matrix}

Hasonlóan adódik, hogy

β

2 α + β

és

4 α + 2 β

0^{\circ}

és

45^{\circ}

közti szögek, ezért

k = 0

5 α + 2 β

értéke csak

45^{\circ}

lehet.

Kele András (Nagykanizsa, Landler J. g. III. o. t.)
Martoni Viktor (Tapolca, II. sz. Ált. Isk., 8. o. t.)