Feladat: 1494. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Andor Csaba ,  Balázs Katalin ,  Balogh J. ,  Bihari Katalin ,  Cseh J. ,  Csirmaz László ,  Csörgei J. ,  Czeizler A. ,  Dombi J. ,  Fiala T. ,  Gács J. ,  Hegedűs A. ,  Hunyadvári L. ,  Juhász Ágnes ,  Katona Viktor ,  Kele András ,  Kóczy László ,  Kókai J. L. ,  Komjáthy P. ,  Kováts A. ,  Külvári István ,  Lábady Katalin ,  Losonci Zoltán ,  Martoni Viktor ,  Mérő László ,  Mitrocsák Anikó ,  Munk Sándor ,  Nagy Zs. ,  Nédai L. ,  Perémy Gábor ,  Pintz János ,  Schreiber Gy. ,  Siklósi I. ,  Szűcs A. ,  Takács L. ,  Tátray P. ,  Török B. ,  Vályi I. ,  Vetier András ,  Vizvári B. 
Füzet: 1967/október, 58. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/november: 1494. matematika feladat

Legyen α és β az a hegyesszög, amelyre tgα=1/7 és tgβ=3/79. Mutassuk meg, hogy 5α+2β=45.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tangens-függvény addíció tételének ismételt alkalmazásával

tg2α=2tgα1-tg2α=271-149=1448=724(ami<1);tg(2α+β)=tg2α+tgβ1-tg2αtgβ=724+3791-724379=6251875=13(ami<1);tg(4α+2β)=2tg(2α+β)1-tg2(2α+β)=231-19=34(ami<1);tg(5α+2β)=tg(4α+2β)+tgα1-tgαtg(4α+2β)=34+171-3417=2525=1,


amiből 5α+2β=45+k180. Másrészt, a részeredmények felhasználásával
0<α<90éstgα<1,ezért0<α<45;így0<2α<90,detg2α<1,ezért0<2α<45.
Hasonlóan adódik, hogy β, 2α+β és 4α+2β is 0 és 45 közti szögek, ezért k=0, 5α+2β értéke csak 45 lehet.
 
 Kele András (Nagykanizsa, Landler J. g. III. o. t.)
 Martoni Viktor (Tapolca, II. sz. Ált. Isk., 8. o. t.)