Kezdőlap


Feladat:	1485. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schlosser Attila , Tóth Tibor
Füzet:	1967/november, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Téglalapok, Szimmetrikus sokszögek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/október: 1485. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$} Nyilvánvaló, hogy a beírt $T$ téglalap is szimmetrikus lesz a $K$ keresztmetszet-ötszög szimmetriatengelyére, $T$ -nek két csúcsa illeszkedik $K$ ferde oldalaira, megengedve ezek alsó végpontjait is.

Legyen

T

alapja

x

, magassága

y

. A

T

fölött kimaradt háromszög hasonló

K

-nak háromszög alakú felső részéhez, ezért

\begin{matrix} x : (b + m - y) = 2 a : m . \end{matrix}

Innen a

T

-idom alapja, majd

t

területe

\begin{matrix} x = \frac{2 a}{m} (b + m - y), \\ t = x y = \frac{2 a}{m} [(b + m) y - y^{2}] = \frac{2 a}{m} [{(\frac{b + m}{2})}^{2} - {(y - \frac{b + m}{2})}^{2}] = \\ = \frac{a {(b + m)}^{2}}{2 m} - \frac{2 a}{m} {(y - \frac{b + m}{2})}^{2} . \end{matrix}

Ez akkor veszi fel legnagyobb értékét, ha a kivonandó

0

, azaz ha

\begin{matrix} y = \frac{b + m}{2}, és ekkor x = \frac{a}{m} (b + m), t_{max} = \frac{a {(b + m)}^{2}}{2 m} . \end{matrix}

Eredményünk természetesen csak akkor érvényes, ha a talált magasság nagyobb, mint

K

alsó részének

b

magassága:

\begin{matrix} y \geq b, \frac{b + m}{2} \geq b, azaz m \geq b . \end{matrix}

m < b

, akkor a

K

-ba beírt legnagyobb területű téglalap a

K

alsó részét szolgáltató téglalap.
Szerkesztésre csak az

m > b

esetben van szükség. A

t_{max}

területű

T

egyik felső csúcsát,

C

-t kimetszhetjük az alsó

A B

oldalának

F

felezőpontjából oda mutató iránnyal. Ennek hajlásszögét

α

-val jelölve

\begin{matrix} tg α = \frac{y}{x / 2} = \frac{2 y}{x} = (b + m) : \frac{a}{m} (b + m) = \frac{m}{a}, \end{matrix}

vagyis egyenlő

K

ferde oldalainak hajlásszögével. Eszerint

F C

párhuzamos

K

másik ferde oldalával.

Tóth Tibor (Szolnok, Verseghy F. Gimn., III. o. t.)
Schlosser Attila (Esztergom, Temesvári Pelbárt Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Többen

K

-t kiegészítették háromszöggé, ferde oldalait meghosszabbítva téglalap részének alsó alapvonaláig, majd az ebbe a háromszögbe beírt legnagyobb területű téglalapot keresték, azzal a mellékfeltétellel, hogy ennek az eredeti

K

-ban is benne kell lennie.

^{$^{*}$}Elszomorodva értesültünk a feladat kitűzőjének, Theodor Kaspernek elhunytáról, aki a Meisseni (NDK) Műszaki Főiskola docense és lapunknak igaz barátja volt. Sűrűn érdeklődött olvasóink munkája és a tanulóversenyek iránt, ötleteket adott új feladatok tervezéséhez. Emlékét kegyelettel megőrizzük. (A Szerkesztőség)