Kezdőlap


Feladat:	1484. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh J. , Bárász P. , Baróthy B. , Battha L. , Berács J. , Berkes Z. , Bottyán J. , Bölcskei Hedvig , Csirmaz L. , Csörgei J. , Draschitz R. , Faragó Tibor , Fiala T. , Gellért J. , Halász F. , Horváth S. , Jobbágy T. , Juhász Ágnes , Karger Kocsis J. , Kele A. , Kocsis F. , Koren A. , Külvári I. , Langer T. , Mérő L. , Mitrocsák Anikó , Nagy László , Nagy Zsigmond , Pataki Judit , Perémy G. , Schreiber Gy. , Siklósi I. , Somos E. , Stark E. , Sugár L. , Szabados Katalin , Szenes Katalin , Szilléry A. , Szűcs A. , Takács L. , Tátray P. , Tiszai I. , Vetier A.
Füzet:	1967/október, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Hossz, kerület, Terület, felszín, Természetes számok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/október: 1484. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk az oldalak betűzését úgy, hogy $a \geq b \geq c$ álljon. Ekkor a szögekre $α \geq β \geq γ$ .
I. $γ < 90^{\circ}$ , ezért a $γ$ szög akkor a legkisebb, ha a

\begin{matrix} sin^{2} \frac{γ}{2} = \frac{4 (s - a) (s - b)}{4 a b} = \frac{[c - (a - b)] [c + (a - b)]}{{(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}} \end{matrix}

kifejezés értéke a lehető legkisebb. A számláló tényezői pozitívok, így legkisebb lehetséges értékük 1. Ez be is következik, ha

c = 1

és

a = b

. A nevező legnagyobb lehetséges értéke adódik, ha

a

és

b

közös értéke 10. Így

sin γ / 2 = 1 / 20 = 0, 05

γ \approx 5, 73^{\circ}

a legkisebb előforduló szög.
II.

α

legnagyobb értékének meghatározásában a következő összefüggésből indulunk ki:

\begin{matrix} {tg}^{2} \frac{α}{2} = \frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)} = \frac{[a + (c - b)] \cdot [a + (b - c)]}{(b + c + a) (b + c - a)} = \\ = \frac{a^{2} - {(b - c)}^{2}}{{(b + c)}^{2} - a^{2}} = \frac{a^{2} - v^{2}}{u^{2} - a^{2}} = \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} - a^{2}} - 1, \end{matrix}

ahol

u = b + c

v = b - c

. Eszerint

u

és

v

egyenlő párosságú egész számok és

u > v

.
Rögzített

a

és

u

esetén a kifejezés akkor a legnagyobb, ha

v

értéke a lehető legkisebb, vagyis

v = 0

, ha

u

páros, és

v = 1

, ha

u

páratlan. Az első esetben

\begin{matrix} \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} - a^{2}} = \frac{1}{1 - {(\frac{a}{u})}^{2}}, \end{matrix}

és ez akkor legnagyobb, ha

a / u

legnagyobb. Ehhez ‐ megengedve

u

változását ‐,

u

-nak legkisebbnek kell lennie. A háromszög-egyenlőtlenség miatt

a < u

, így

u

legkisebb lehetséges értéke páros

a

esetén

u = a + 2

, páratlan

a

esetén

u = a + 1

. ‐ Páros

a

esetén

\begin{matrix} \frac{a}{u} = \frac{a}{a + 2} = 1 - \frac{2}{a + 2} . \end{matrix}

Legnagyobb értékét

a = 10

mellett kapjuk: 10/12, páratlan

a

esetén hasonlóan

a / (a + 1)

legnagyobb értéke 9/10. Ez nagyobb 10/12-nél, tehát ha

u

páros, akkor

{tg}^{2} α / 2

legnagyobb értékét az

a = 9

u = 10

v = 0

b = c = 5

értékrendszer adja, ekkor

{tg}^{2} α / 2 = 81 / 19

. ‐ Ha pedig

u

páratlan és

v = 1

, akkor

\begin{matrix} {tg}^{2} \frac{α}{2} = \frac{a^{2} - 1}{u^{2} - a^{2}} \end{matrix}

úgy ad legnagyobb eredményt, ha

u

a legkisebb, azaz páros

a

esetén

u = a + 1

mellett. Ekkor

\begin{matrix} {tg}^{2} \frac{α}{2} = \frac{a^{2} - 1}{2 a + 1} = \frac{a}{2} - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 a + 1}, \end{matrix}

ez a kifejezés

a

növekedésével monoton nő, legnagyobb szóba jövő értéke

a = 10

mellett

{tg}^{2} α / 2 = 99 / 21

. Páratlan

a

esetén viszont

u = a + 2

, és

\begin{matrix} {tg}^{2} \frac{α}{2} = \frac{a^{2} - 1}{4 (a + 1)} = \frac{a - 1}{4}, \end{matrix}

ami szintén növekvő, de még

a = 9

esetén is kisebb a fentinél.
Minthogy pedig

99 / 21 > 81 / 19

, azért

{tg}^{2} α / 2

értéke és egyben

α

értéke az

a = 10

u = 11

v = 1

b = 6

c = 5

esetben a legnagyobb, ekkor

α_{max} \approx 130, 5^{\circ}

Faragó Tibor (Budapest, Bláthy O. Erősár. Ip. Tech., IV. o. t.)