Feladat: 1479. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szentgáli Adám ,  Tegze Judit 
Füzet: 1967/szeptember, 12 - 13. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletek grafikus megoldása, Exponenciális függvények, Interpoláció, Feladat, Logaritmusos függvények, Exponenciális egyenletek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/szeptember: 1479. matematika feladat

Keressük meg rendszeres próbálgatás útján két tizedes pontossággal a következő egyenlet gyökeit:
(33)x=x.(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Grafikus megoldásban a gyök közelítő értékét annak a pontnak abszcisszája adja, amelyben az (1) két oldalán álló függvényeket ábrázoló grafikonok metszik egymást. A bal oldal értéke x=0,1,2,3,4 esetén rendre 1, 1,44, 2,08, 3, 4,33 (1. ábra); a grafikonnak az y=x egyenessel az x=3 abszcisszán közös pontja van, x1=3 gyöke (1)-nek. A grafikon ,,görbe'' volta miatt kézenfekvő az a sejtés, hogy van további pontja is az y=x egyenesen.

 
 
1.  és  2. ábra
 

Másrészt az exponenciális görbe egyre meredekebbé váló emelkedéséből azt sejtjük, hogy kettőnél több közös pont nincs.
Az x2 gyök közelítése könnyebb (1) alábbi átalakítása alapján:
xlg33=lgx,lgxx=lg330,477130,1590(2)


(lekerekítéssel), a jobb oldal képe itt is egyenes. (2) bal oldalát f(x)-szel, jobb oldalát c-vel jelölve
f(2)=f(4)=0,1505<c,viszontf(2,7)0,4314/2,70,1598>c,
ebből 2<x2<2,7 várható. Az intervallumot szűkítve
f(2,5)0,1592>c,f(2,4)0,1584<c,ezekből2,4<x2<2,5f(2,47)0,3927/2,470,1590(fölkerekítéssel)f(2,48)0,3945/2,480,1591(fölkerekítéssel)


Eszerint 2,47<x2<2,48, de négyjegyű táblázat alapján nem dönthető el, hogy, melyik korlát veendő x2 két tizedesre kerekített közelítő értékeként.
Ötjegyű logaritmustáblázat alapján
c=f(3)0,47712/3=0,15904,f(2,475)0,39358/2,4750,15901<c,f(2,485)0,39533/2,4850,15908>c,


eszerint az előírt pontossággal x2=2,48.
 
 Tegze Judit (Budapest, Kölcsey F. Gimn., III. o. t.)
 Szentgáli Ádám (Budapest, Ady E. g., IV. o. t.)