Kezdőlap


Feladat:	1458. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh J. , Berkes Z. , Bod Judit , Bottyán I. , Csirmaz L. , Cziffra A. , Deák J. , Domokos L. , Fencsik G. , Füvesi I. , Fövényesi Ildikó , Gács P. , Gáspár A. , Halek T. , Havas J. , Herényi I. , Kádas S. , Kelle P. , Korchmáros G. , Külvári I. , Langer T. , Losonci Zoltán , Nádai László , Páldi Annamária , Papp Z. , Recski A. , Sásdy B. , Sugár L. , Szeidl L. , Szeredi P. , Szilágyi I. , Szilágyi P. , Takács Ágnes , Takács L. , Tátray P. , Tényi G. , Tiszai I. , Varga Gabriella
Füzet:	1967/március, 106 - 107. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenlőtlenségek, Gyökös függvények, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 1458. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a bal oldal első tagja röviden $a$ , a második tag $b$ . Így nyilvánvalóan $a > b > 0$ , ezért a számtani és a mértani középre ismert egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} a b < {(\frac{a + b}{2})}^{2} . \end{matrix}

Ennek alapján a bal oldal köbére

\begin{matrix} {(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) < a^{3} + b^{3} + \frac{3}{4} {(a + b)}^{3}, \end{matrix}

\begin{matrix} {(a + b)}^{3} < 4 (a^{3} + b^{3}) = 4 \cdot 6 = 2^{3} \cdot 3, \end{matrix}

(2)

végül mivel kisebb szám köbgyöke kisebb:

\begin{matrix} a + b < \sqrt[3]{2^{2} \cdot 3} = 2 \sqrt[3]{3}, qu.e.d. \end{matrix}

Varga Gabriella (Szombathely, Savaria Gimn. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A felhasznált (2) egyenlőtlenségre még egyet közlünk a több lehetséges bizonyítás közül. Alkalmazzuk a három nem negatív szám számtani és a mértani közepére ismert egyenlőtlenséget az

a^{3}

a^{3}

b^{3}

, majd az

a^{3}

b^{3}

b^{3}

számokra

(a^{3} ≧ b^{3} ≧ 0)

\begin{matrix} \sqrt[3]{a^{6} b^{3}} = a^{2} b ≦ \frac{2 a^{3} + b^{3}}{3}, {a b}^{2} ≦ \frac{a^{3} + 2 b^{3}}{3} . \end{matrix}

Képezzük ezek összegének

3

-szorosát, és adjuk hozzá mindkét oldalhoz

a^{3} + b^{3}

-t:

\begin{matrix} a^{3} + 3 (a^{2} b + a b^{2}) + b^{3} = {(a + b)}^{3} < 4 (a^{3} + b^{3}), qu. e. d. \end{matrix}

Eredményünk így is írható:

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} ≦ \sqrt[3]{\frac{a^{3} + b^{3}}{2}}, \frac{\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{d}}{2} ≦ \sqrt[3]{\frac{c + d}{2}}, \end{matrix}

(3)

az első alak jobb oldala

a

és

b

ún.

3

-adik hatványközepe.

Nádai László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn. II. o. t.)

2. A (3) második alakjának szemléletes megfelelője

0 ≦ c < d

esetére az, hogy az

y = \sqrt[3]{x}

(x ≧ 0)

függvény grafikonjának (ami

y = x^{3}

(x ≧ 0)

grafikonjának tükörképe az

y = x

egyenesre)

c

és

d

abszcisszájú pontját összekötő húr a görbeív alatt halad, a görbe íve konkáv. Ugyanis a bal oldalon annak a trapéznak a középvonala áll, melynek párhuzamos oldalai az

x = c

és

x = d

pontokhoz tartozó ordinátaszakaszok ‐ vagyis a húr felezőpontjának ordinátája ‐, a jobb oldalon pedig a függvény értéke a középvonal talppontjához tartozó

x

helyen.

II. megoldás. Bebizonyítjuk a következő két egyenlőséget:

\begin{matrix} \sqrt[3]{3 + \sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{3} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{3}}, \sqrt[3]{3 - \sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{3}}, \end{matrix}

ezekből (1) összeadással adódik.
Képezzük mindkét esetben a jobb és a bal oldal köbének különbségét (a számítást együtt végezhetjük, kettős előjellel):

\begin{matrix} 3 \pm \frac{3 \sqrt[3]{9}}{3 \sqrt[3]{3}} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{9 \sqrt[3]{9}} \pm \frac{1}{81} - 3 \mp \sqrt[3]{3} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{3}} \pm \frac{1}{81} > \frac{1}{9} \pm \frac{1}{81} > 0, \end{matrix}

tehát a jobb oldal köbe nagyobb a bal oldal köbénél. Ezért állításunk is helyes.

Losonci Zoltán (Szeged, Vedres I. Épip. t., III. o. t.)