Feladat: 1458. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh J. ,  Berkes Z. ,  Bod Judit ,  Bottyán I. ,  Csirmaz L. ,  Cziffra A. ,  Deák J. ,  Domokos L. ,  Fencsik G. ,  Füvesi I. ,  Fövényesi Ildikó ,  Gács P. ,  Gáspár A. ,  Halek T. ,  Havas J. ,  Herényi I. ,  Kádas S. ,  Kelle P. ,  Korchmáros G. ,  Külvári I. ,  Langer T. ,  Losonci Zoltán ,  Nádai László ,  Páldi Annamária ,  Papp Z. ,  Recski A. ,  Sásdy B. ,  Sugár L. ,  Szeidl L. ,  Szeredi P. ,  Szilágyi I. ,  Szilágyi P. ,  Takács Ágnes ,  Takács L. ,  Tátray P. ,  Tényi G. ,  Tiszai I. ,  Varga Gabriella 
Füzet: 1967/március, 106 - 107. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenlőtlenségek, Gyökös függvények, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/április: 1458. matematika feladat

Igazoljuk a következő egyenlőtlenséget:
3+31313+3-31313<2313.(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a bal oldal első tagja röviden a, a második tag b. Így nyilvánvalóan a>b>0, ezért a számtani és a mértani középre ismert egyenlőtlenség szerint

ab<(a+b2)2.
Ennek alapján a bal oldal köbére
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)<a3+b3+34(a+b)3,
(a+b)3<4(a3+b3)=46=233,(2)
végül mivel kisebb szám köbgyöke kisebb:
a+b<2233=233,qu.e.d.

Varga Gabriella (Szombathely, Savaria Gimn. III. o. t.)

 

Megjegyzések. 1. A felhasznált (2) egyenlőtlenségre még egyet közlünk a több lehetséges bizonyítás közül. Alkalmazzuk a három nem negatív szám számtani és a mértani közepére ismert egyenlőtlenséget az a3, a3, b3, majd az a3, b3, b3 számokra (a3b30):
a6b33=a2b2a3+b33,ab2a3+2b33.
Képezzük ezek összegének 3-szorosát, és adjuk hozzá mindkét oldalhoz a3+b3-t:
a3+3(a2b+ab2)+b3=(a+b)3<4(a3+b3),qu. e. d.

Eredményünk így is írható:
a+b2a3+b323,c3+d32c+d23,(3)
az első alak jobb oldala a és b ún. 3-adik hatványközepe.
 
Nádai László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn. II. o. t.)

 
 

2. A (3) második alakjának szemléletes megfelelője 0c<d esetére az, hogy az y=x3 (x0) függvény grafikonjának (ami y=x3 (x0) grafikonjának tükörképe az y=x egyenesre) c és d abszcisszájú pontját összekötő húr a görbeív alatt halad, a görbe íve konkáv. Ugyanis a bal oldalon annak a trapéznak a középvonala áll, melynek párhuzamos oldalai az x=c és x=d pontokhoz tartozó ordinátaszakaszok ‐ vagyis a húr felezőpontjának ordinátája ‐, a jobb oldalon pedig a függvény értéke a középvonal talppontjához tartozó x helyen.
 
II. megoldás. Bebizonyítjuk a következő két egyenlőséget:
3+333<33+1333,3-333<33-1333,
ezekből (1) összeadással adódik.
Képezzük mindkét esetben a jobb és a bal oldal köbének különbségét (a számítást együtt végezhetjük, kettős előjellel):
3±393333+333993±181-333=1333±181>19±181>0,
tehát a jobb oldal köbe nagyobb a bal oldal köbénél. Ezért állításunk is helyes.
 
 Losonci Zoltán (Szeged, Vedres I. Épip. t., III. o. t.)