Feladat:	1443. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Argyelán János ,  Bárány I. ,  Barcza Gyöngyi ,  Baróthy B. ,  Berkes Z. ,  Blahunka Rozália ,  Bod Judit ,  Csáki I. ,  Csikós M. ,  Csirmaz L. ,  Csóka G. ,  Czifra A. ,  Deák J. ,  Domokos L. ,  Fencsik G. ,  Gáspár A. ,  Halász F. ,  Hámori Veronika ,  Havas J. ,  Herényi I. ,  Joó I. ,  Juhász Ágnes ,  Kádas S. ,  Kiss Á. ,  Kloknicer I. ,  Korchmáros G. ,  Králik I. ,  Langer T. ,  Losonci Z. ,  Medgyesi K. ,  Mlakár Katalin ,  Nagy Elemér ,  Páldi Annamária ,  Papp Z. ,  Perémy G. ,  Pintér J. ,  Sásdy B. ,  Sebő I. ,  Sólymos L. ,  Solymosi A. ,  Szeidl L. ,  Szentgáli Á. ,  Szeredi P. ,  Szilágyi P. ,  Tátray P. ,  Tényi G. ,  Tiszai I. ,  Tolnai-Knefély T. ,  Varsányi Anikó ,  Verdes S. ,  Vízvári B.
Füzet:	1966/október, 63 - 64. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Irracionális számok és tulajdonságaik, Interpoláció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/február: 1443. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Az $FKH$ és $FJC$, valamint $FJG$ és $FEC$ háromszögek páronként hasonlók, ezért, a további feltételeket is felhasználva $\begin{array}{c}{\displaystyle FK=\frac{FH}{FC}\cdot FJ=\frac{FJ}{FC}\mathrm{,}FJ=\frac{FG}{FC}\cdot FE=\frac{F{E}^2}{FC}\mathrm{,}}\end{array}$ és így, 7 tizedesre fölkerekítve $\begin{array}{c}{\displaystyle FK=\frac{F{E}^2}{F{C}^2}=\frac{2^2+{\left(5/9\right)}^2}{1^2+{\left(14/9\right)}^2}=\frac{{18}^2+5^2}{9^2+{14}^2}=\frac{349}{277}=\mathrm{1,259}9278.}\end{array}$ A kérdéses köbgyök idézett közelítő értéke 7 tizedesre lekerekítse $1\mathrm{,}2599210$, tehát hiánya kisebb, mint $5\cdot {10}^{-8}$, ezért $FK$ többlete kisebb $68\cdot {10}^{-7}$-nél, ami kevesebb, mint $\sqrt[3]{2}$-nek 6 milliomod része. $\sqrt[3]{2}$ és $FK$ számjegyei közül az 5. tizedes jegye az utolsó még megegyező. Ha viszont mindegyiket 5 tizedes jegyre helyesen kerekítjük, $FK$ utolsó megtartott jegye már nagyobb.    Hámori Veronika (Budapest, Ságvári E. gyak. g. III. o. t.)   Megjegyzés. Becslést adhatunk a közelítés mértékére az idézett közelítő érték ismerete nélkül is. Legyen $FK=c$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle c^3=\frac{{349}^3}{{277}^3}=2+d\mathrm{,}\text{ahol}d=\frac{683}{21253933}<\frac{7\cdot {10}^2}{2\cdot {10}^7}<4\cdot {10}^{-5}\mathrm{.}}\end{array}$ Eszerint $c$ fölső közelítő érték. Fölső korlátot keresünk a $\delta =c-\sqrt[3]{2}$ többletre. A számlálót az $\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$ azonosság alapján gyöktelenítve, majd a nevezőben $c$ helyére mindkét helyen a kisebb $\sqrt[3]{2}$-t írva $\begin{array}{c}{\displaystyle \delta =c-\sqrt[3]{2}=\frac{c^3-2}{c^2+c\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2}}<\frac{d}{3\sqrt[3]{2^2}}=\frac{d}{6}\sqrt[3]{2}<\frac{d}{4}<{10}^{-5}\mathrm{.}}\end{array}$ Az utolsó lépésben csak annyit használtunk fel, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{2}<3/\mathrm{2,}\text{hiszen}{\left(3/2\right)}^3>3.}\end{array}$  Argyelán János (Veszprém, Vegyip. t. IV. o. t.)