Kezdőlap


Feladat:	1433. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai L. , Balogh J. , Bárány I. , Barcza Gyöngyi , Bod Judit , Bottyán I. , Csirmaz László , Élthes Eszter , Faur T. , Fencsik G. , Gács P. , Gy. Molnár Cs. , Havas J. , Karsai I. , Kas P. , Kloknicer I. , Korchmáros G. , Kovács G. , Lakatos L. , Lévai F. , Nagy Elemér , Sugár L. , Szeidl L. , Szeredi P. , Tihanyi L. , Varga Gabriella , Zákány L.
Füzet:	1966/november, 126 - 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Valós együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 1433. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A két polinom szorzata $12$ -edfokú, $x$ -nek csak páros kitevőjű hatványait tartalmazza. $x^{12}$ együtthatója és az $x$ -től mentes tag $1$ . Válasszuk a megengedett $3$ . tagban a kitevőt $6$ -nak, így $x^{10}$ , $x^{8}$ , $x^{4}$ és $x^{2}$ együtthatójának kell eltűnnie:

\begin{matrix} 2 A - 16 & = 0, & (3) \\ A^{2} - 8 B + 2 C & = 0, & (4) \\ 2 A - 2 B D + C^{2} & = 0, & (5) \\ 2 C - D^{2} & = 0. & (6) \end{matrix}

(3)-ból

A = 8

, (6)-ból

C = D^{2} / 2

, (4)-ből és (6)-ból

B = 8 + C / 4 = 8 + D^{2} / 8

, és ezeket (5)-be helyettesítve

\begin{matrix} D^{4} - D^{3} - 64 D + 64 = (D - 1) (D^{3} - 64) = \\ = (D - 1) (D - 4) (D^{2} + 4 D + 16) = 0. \end{matrix}

Az első két tényező eltűnéséből

1

‐

1

megfelelő értékrendszert kapunk:

\begin{matrix} D_{1} & = 1, & B_{1} & = 65 / 8, & C_{1} & = 1 / 2; \\ D_{2} & = 4, & B_{2} & = 10, & C_{2} & = 8, \end{matrix}

és ekkor a két polinom szorzata:

\begin{matrix} x^{12} + \frac{4097}{64} x^{6} + 1, ill. x^{12} - 2 x^{6} + 1 = {(x^{6} - 1)}^{2} . \end{matrix}

b) Könnyű észrevenni, hogy mindjárt a kapott második értékrendszer is megfelel a második követelménynek, ekkor a két polinom:

\begin{matrix} {(x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1)}^{2} = {[(x^{3} + 1) + 2 x (x + 1)]}^{2} = {(x + 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}, \\ {(x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 1)}^{2} = {[(x^{3} - 1) - 2 x (x - 1)]}^{2} = {(x - 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2} . \end{matrix}

Általában (1) és (2) akkor azonos az

x^{3} + 2 x^{2} + b x + c

, ill.

x^{3} - 2 x^{2} + b' x + c'

polinom négyzetével, ha teljesül

\begin{matrix} \begin{matrix} 4 + 2 b = & A, \\ 2 c + 4 b = & B, \\ 4 c + b^{2} = & C, \\ 2 b c = & D, \\ c^{2} = & 1; \end{matrix}} illetőleg \begin{matrix} 4 + 2 b' = & A, \\ 2 c' + 4 b' = & - B, \\ - 4 c' + b'^{2} = & C, \\ 2 b' c' = & - D, \\ c'^{2} = & 1. \end{matrix}} \end{matrix}

A második feltételeket (balról és jobbról) összeadva, az ötödikeket kivonva

\begin{matrix} (c + c') + 2 (b - b') = 0, c^{2} - c'^{2} = (c + c') (c - c') = 0. \end{matrix}

Ezek mindegyike, valamint az első négy feltételpár is teljesül, ha

c' = - c

, és

b' = b

, végül az ötödik feltételből

c = 1

. Eszerint bármely valós

b

paraméter esetén megfelel

\begin{matrix} A = 2 b + 4, B = 4 b + 2, C = b^{2} + 4, D = 2 b, \end{matrix}

és ekkor

\begin{matrix} x^{6} \pm 4 x^{5} + (2 b + 4) x^{4} \pm (4 b + 2) x^{3} + (b^{2} + 4) x^{2} \pm 2 b x + 1 = \\ = {(x^{3} \pm 2 x^{2} + b x \pm 1)}^{2} . \end{matrix}

Fenti észrevételünk innen

b = 2

esetén adódik.

Csirmaz László (Budapest, I. István g. I. o. t.)