Kezdőlap


Feladat:	1389. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Babai L. , Balogh K. , Bárány I. , Deák J. , Dévaj Ágnes , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Fodor Magdolna , Füvesi I. , Gáspár A. , Herényi I. , Höss Rozália , Kalmár I. , Karsai Kornélia , Kele A. , Kiss Árpád , Külvári I. , Nagy Klára , Pintér János , Recski A. , Sükösd Cs. , Szalay M. , Szeidl L. , Szörényi M. , Telegdi L. , Tóth Teréz
Füzet:	1966/április, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat, Trigonometrikus függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/április: 1389. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az $x$ fokos szög radiánban vett mértékszáma $π x / 180$ , eszerint a követelmény

\begin{matrix} sin x = sin \frac{π x}{180} . \end{matrix}

Két szög (forgásszög) színusza akkor és csak akkor egyenlő, ha különbségük

2 π

-nek egész számú többszöröse, vagy ha összegük

π

-nek páratlan többszöröse, azaz

\begin{matrix} x - \frac{π x}{180} = 2 k π, ill. x + \frac{π x}{180} = (2 k + 1) π, \end{matrix}

ahol nyilvánvalóan

k \geq 0

. Innen

\begin{matrix} x = \frac{360 π}{180 - π} \cdot k ill. x = \frac{180 π}{180 + π} \cdot (2 k + 1) . \end{matrix}

Ha itt

π

helyett az ismert

22 / 7

közelítő értékét használjuk (0,04 % hiba),

\begin{matrix} x \approx \frac{3960}{619} k \approx 6, 397 k, ill. & (1) \\ x \approx \frac{1980}{641} (2 k + 1) = \frac{1980}{641} + \frac{3960}{641} k \approx 3, 088 \cdot (2 k + 1) . & (2) \end{matrix}

Az első esetben a

0 \leq k \leq 4

értékekkel

\begin{matrix} x \approx 0; 6, 397; 12, 79; 19, 19; 25, 59; \end{matrix}

a másodikban ugyanezekkel

\begin{matrix} x \approx 3, 088; 9, 264; 15, 44; 21, 62; 27, 79. \end{matrix}

A megfelelő értékek száma

10

II. Az

x < 90

korlátozás miatt

\begin{matrix} (1) -ből: & k < \frac{619}{44} < 14, 1, & azaz & k \leq 14, \\ (2) -ből: & 2 k + 1 < \frac{641}{22} < 29, 2, & azaz & k \leq 14, \end{matrix}

tehát mindkét képlet

14 - 4 = 10

megfelelő

x

értéket ad.

Pintér János (Budapest, I. István g. III. o. t.)

Megjegyzés. A megfelelő

x

értékek leolvashatók, mint az

\begin{matrix} y = sin x és y = sin \frac{π}{180} \cdot x \end{matrix}

függvényeket ábrázoló görbéknek a

0 \leq x \leq 30

intervallumbeli ívén adódó metszéspontok abszcisszái. (Az ábrán az ordinátatengely egysége

10

-szer akkora, mint az abszcisszatengelyé.)