Feladat: 1389. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Babai L. ,  Balogh K. ,  Bárány I. ,  Deák J. ,  Dévaj Ágnes ,  Domokos L. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Fodor Magdolna ,  Füvesi I. ,  Gáspár A. ,  Herényi I. ,  Höss Rozália ,  Kalmár I. ,  Karsai Kornélia ,  Kele A. ,  Kiss Árpád ,  Külvári I. ,  Nagy Klára ,  Pintér János ,  Recski A. ,  Sükösd Cs. ,  Szalay M. ,  Szeidl L. ,  Szörényi M. ,  Telegdi L. ,  Tóth Teréz 
Füzet: 1966/április, 154 - 155. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenletek, Feladat, Trigonometrikus függvények
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/április: 1389. matematika feladat

Keressük meg azokat a 0 és 30 közti x számokat, amelyekre x fok és x radián szinusza egyenlő. ‐ Hány ilyen szám van a 30 és 90 számok között?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az x fokos szög radiánban vett mértékszáma πx/180, eszerint a követelmény

sinx=sinπx180.

Két szög (forgásszög) színusza akkor és csak akkor egyenlő, ha különbségük 2π-nek egész számú többszöröse, vagy ha összegük π-nek páratlan többszöröse, azaz
x-πx180=2kπ,ill.x+πx180=(2k+1)π,
ahol nyilvánvalóan k0. Innen
x=360π180-πkill.x=180π180+π(2k+1).
Ha itt π helyett az ismert 22/7 közelítő értékét használjuk (0,04 % hiba),
x3960619k6,397k,ill.(1)x1980641(2k+1)=1980641+3960641k3,088(2k+1).(2)
Az első esetben a 0k4 értékekkel
x0;6,397;12,79;19,19;25,59;
a másodikban ugyanezekkel
x3,088;9,264;15,44;21,62;27,79.
A megfelelő értékek száma 10.
 

II. Az x<90 korlátozás miatt

(1)-ből:   k<61944<14,1,   azaz   k14,(2)-ből:   2k+1<64122<29,2,   azaz   k14,   


tehát mindkét képlet 14-4=10 megfelelő x értéket ad.
 

Pintér János (Budapest, I. István g. III. o. t.)
 
 

Megjegyzés. A megfelelő x értékek leolvashatók, mint az
y=sinxésy=sinπ180x
függvényeket ábrázoló görbéknek a 0x30 intervallumbeli ívén adódó metszéspontok abszcisszái. (Az ábrán az ordinátatengely egysége 10-szer akkora, mint az abszcisszatengelyé.)