Kezdőlap


Feladat:	1385. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Arányi P. , Babai L. , Balogh K. , Bárány I. , Beke Éva , Deák J. , Dévaj Ágnes , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Elekes Gy. , Fodor Magdolna , Forgács P. , Füvesi I. , Gáspár A. , Herényi I. , Hoffer Anna , Höss Rozália , Juhász F. , Kalmár I. , Kiss Á. , Kósa M. , Külvári I. , Lamm P. , Lévai F. , Nagy Klára , Pintér J. , Recski A. , Sarkadi Nagy I. , Surányi L. , Sükösd Cs. , Szalay M. , Szőke P. , Szörényi M. , Telegdi L. , Tóth Teréz , Vidovszky I.
Füzet:	1966/május, 205 - 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis egyenlete, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Abszolútértékes függvények, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/április: 1385. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az $X$ -tengely és a fölötte levő félsík pontjaira $| y | = y$ , ezekre szorítkozva az egyenlet így egyszerűsödik:

\begin{matrix} 4 x^{2} + 16 y^{2} = 1, másképpen \frac{x^{2}}{1 / 4} + \frac{y^{2}}{1 / 16} = 1. \end{matrix}

Ez ellipszis egyenlete, melynek tengelyei a koordinátatengelyek, a nagy tengely fele (az

X

-tengelyen)

a = 1 / 2

, a kis tengely fele

1 / 4

; esetünkben az ellipszisnek a fölső fele tartozik a keresett vonalhoz, végpontjaival együtt (az ábra a) része).
Az

X

-tengely alatti félsík pontjaira

y < 0

és így

| y | = - y

. Az egyenlet így alakul:

4 x^{2} = 1

(2 x - 1) (2 x + 1) = 0

, ebből a

2 x - 1 = 0

, azaz

x = + 1 / 2

és az

x = - 1 / 2

egyeneseknek az

X

-tengely alatti félegyeneseit kapjuk, kezdőpontjuk nélkül. Ezek folytonosan csatlakoznak a félellipszishez, mert kezdőpontjuk a nagy tengely két végpontja. Az a) egyenlet a mondott

3

részből álló vonal egyenlete.

b) A síkot az

y = 0

és

x - 1 = 0

, azaz

x = 1

egyenespárral

4

részre osztva (lásd az ábra b) részét)

| y |

-et és

| x - 1 |

-et egy-egy síkrészben azonos módon képezzük: a felső félsíkon, az I. és II. síkrészben

| y | = y

, az alsó III. és IV. részben

| y | = - y

, a határvonalon

| y | = 0

; a jobb oldali félsíkon, az I. és IV. síkrészben

| x - 1 | = x - 1

, a bal oldali II. és III. síkrészben

| x - 1 | = | 1 - x | = 1 - x

, a határvonalon

| x - 1 | = 0

. A négy síkrészben az egyenlet rendre így alakul:

\begin{matrix} I. & 2 (x^{2} - 2 x + 1) + 2 {(x - 1)}^{2} = 1, 4 {(x - 1)}^{2} - 1 = 0, \\ {(2 x - 2)}^{2} - 1 = (2 x - 3) (2 x - 1) = 0; \\ II. & 0 = 1; \\ III. & 16 y^{2} = 1, (4 y - 1) (4 y + 1) = 0; \\ IV. & 4 {(x - 1)}^{2} + 16 y^{2} = 1. \end{matrix}

Az I. alak csak a

2 x - 3 = 0

x = 3 / 2

(és

y \geq 0

) félegyenes pontjaira teljesül, ugyanis

2 x - 1 = 0

x = 1 / 2

esetén nem áll

x - 1 \geq 0

.
A II. alak egyetlen pontra sem teljesül.
A III. alak csak a

4 y + 1 = 0

y = - 1 / 4

(és

x - 1 < 0

) félegyenes pontjaira teljesül, mert itt

4 y - 1 < 0

A IV. alak egy ellipszis egyenlete, melynek tengelyei az

X

-tengely

(y = 0)

és az

x = 1

egyenes, nagy tengelye az

X

-tengelyen van, hossza

1 / 2

egység, így a nagy tengely jobb végpontja a

(3 / 2, 0)

pont, kis tengelye

b = 1 / 4

; a IV. síkrészbe az ellipszisnek egy negyedíve esik.
Ez az ív folytonosan csatlakozik az I. és a III. síkrészbeli félegyenesekhez, ebből a 3 részből álló vonalnak egyenlete a b) egyenlet.

Tóth Teréz (Makó, József A. g. III. o. t.)