Feladat: 1385. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási L. ,  Arányi P. ,  Babai L. ,  Balogh K. ,  Bárány I. ,  Beke Éva ,  Deák J. ,  Dévaj Ágnes ,  Domokos L. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Elekes Gy. ,  Fodor Magdolna ,  Forgács P. ,  Füvesi I. ,  Gáspár A. ,  Herényi I. ,  Hoffer Anna ,  Höss Rozália ,  Juhász F. ,  Kalmár I. ,  Kiss Á. ,  Kósa M. ,  Külvári I. ,  Lamm P. ,  Lévai F. ,  Nagy Klára ,  Pintér J. ,  Recski A. ,  Sarkadi Nagy I. ,  Surányi L. ,  Sükösd Cs. ,  Szalay M. ,  Szőke P. ,  Szörényi M. ,  Telegdi L. ,  Tóth Teréz ,  Vidovszky I. 
Füzet: 1966/május, 205 - 206. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ellipszis egyenlete, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Abszolútértékes függvények, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/április: 1385. matematika feladat

A következő egyenletek milyen vonalak egyenletei?
a)4x2+8y2+8y|y|=1,b)2x2-4x+2+2(x-1)|x-1|+8y2-8y|y|=1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az X-tengely és a fölötte levő félsík pontjaira |y|=y, ezekre szorítkozva az egyenlet így egyszerűsödik:

4x2+16y2=1,másképpenx21/4+y21/16=1.
Ez ellipszis egyenlete, melynek tengelyei a koordinátatengelyek, a nagy tengely fele (az X-tengelyen) a=1/2, a kis tengely fele 1/4; esetünkben az ellipszisnek a fölső fele tartozik a keresett vonalhoz, végpontjaival együtt (az ábra a) része).
Az X-tengely alatti félsík pontjaira y<0 és így |y|=-y. Az egyenlet így alakul: 4x2=1, (2x-1)(2x+1)=0, ebből a 2x-1=0, azaz x=+1/2 és az x=-1/2 egyeneseknek az X-tengely alatti félegyeneseit kapjuk, kezdőpontjuk nélkül. Ezek folytonosan csatlakoznak a félellipszishez, mert kezdőpontjuk a nagy tengely két végpontja. Az a) egyenlet a mondott 3 részből álló vonal egyenlete.
 
 

b) A síkot az y=0 és x-1=0, azaz x=1 egyenespárral 4 részre osztva (lásd az ábra b) részét) |y|-et és |x-1|-et egy-egy síkrészben azonos módon képezzük: a felső félsíkon, az I. és II. síkrészben |y|=y, az alsó III. és IV. részben |y|=-y, a határvonalon |y|=0; a jobb oldali félsíkon, az I. és IV. síkrészben |x-1|=x-1, a bal oldali II. és III. síkrészben |x-1|=|1-x|=1-x, a határvonalon |x-1|=0. A négy síkrészben az egyenlet rendre így alakul:
I.2(x2-2x+1)+2(x-1)2=1,4(x-1)2-1=0,(2x-2)2-1=(2x-3)(2x-1)=0;II.0=1;III.16y2=1,(4y-1)(4y+1)=0;IV.4(x-1)2+16y2=1.

Az I. alak csak a 2x-3=0, x=3/2 (és y0) félegyenes pontjaira teljesül, ugyanis 2x-1=0, x=1/2 esetén nem áll x-10.
A II. alak egyetlen pontra sem teljesül.
A III. alak csak a 4y+1=0, y=-1/4 (és x-1<0) félegyenes pontjaira teljesül, mert itt 4y-1<0
A IV. alak egy ellipszis egyenlete, melynek tengelyei az X-tengely (y=0) és az x=1 egyenes, nagy tengelye az X-tengelyen van, hossza 1/2 egység, így a nagy tengely jobb végpontja a (3/2,0) pont, kis tengelye b=1/4; a IV. síkrészbe az ellipszisnek egy negyedíve esik.
Ez az ív folytonosan csatlakozik az I. és a III. síkrészbeli félegyenesekhez, ebből a 3 részből álló vonalnak egyenlete a b) egyenlet.
 
 Tóth Teréz (Makó, József A. g. III. o. t.)