Feladat: 1375. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárány I. ,  Bede Mária ,  Cser László ,  Cserháti Zsuzsa ,  Cziffra A. ,  Dabóczi Á. ,  Deák J. ,  Domokos L. ,  Ferenczi Gy. ,  Herényi I. ,  Kiss A. ,  Kovács Kristóf ,  Lévai F. ,  Nagy Zsuzsa ,  Scsaurszky P. ,  Sükösd Cs. ,  Szalay M. ,  Szántó O. ,  Szeidl L. ,  Szörényi M. ,  Tényi G. ,  Tongori Éva ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1965/november, 150 - 152. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Csillagászati, földrajzi feladatok, Gömbi geometria, Numerikus módszerek, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/február: 1375. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
 

A Föld és a két csillag (C1 és C2) által meghatározott háromszögben ismerjük az FC1 és FC2 oldalakat, továbbá az adott koordinátákból kiszámíthatjuk a köztük levő szög koszinuszát az idézett
cosϑ=sinδ1sinδ2+cosδ1cosδ2cos(α2-α1)(1)
képlet alapján. A rektaszcenzió értékek különbsége a két csillag-párra

U Ma pár: csillagidőben2h46m,fokban41,5,U Mi pár: csillagidőben13h17m,fokban199,25,


így (1) tagjait logaritmussal számítva az első pár esetében
lgsin629'1=9,9465-10lgcos629'1=9,6694-10lgsin4941'=9,8822-10̲lgcos4941'=9,8110-10lgsin4941'=,0,8287-11lgcos41,51=9,8745-10̲lgcos41,5=10,3549-11
cosϑ1=0,6740+0,2264=0,9004;

a második pár esetében
lgsin8854'=9,9999-10lgcos8854'1=8,2832-10lgsin7428'=9,9838-10̲lgcos7428'1=9,4278-10lgsin74128'=0,9837-11lgcos160,75||=9,9750-10̲lgcos660,75=0,6860-13   


cosϑ11=0,9632-0,0049=0,9583;

ennélfogva a két távolságra a koszinusz-tételt alkalmazva
d12=592+2002-2592000,9004=2,22104,d22=3252+962-2325960,9583=5,50104.

Így a két legtávolabb látszó csillag távolsága a Göncöl Szekér esetében d1149 fényév, a Kis Göncöl esetében pedig d2235 fényév.
 
Cserháti Zsuzsa (Székesfehérvár, Teleki B. g. III. o. t.)
 

Megjegyzés. Az (1) képletet egymás után az 1295., az 1214., az 1146. és az 1045.2 feladatra való hivatkozással használtuk fel, erre tekintettel közöljük egy az idézett legkorábbi helyen találhatótól különböző bizonyítását.
Legyen a Pi hely földrajzi hosszúsága λi, szélessége φi, (i=1, 2, ahol -180λi180, ‐ nyugati, ill. keleti hosszúság ‐ és -90φi90, déli, ill. északi szélesség), és keressük a földgömb OP1 és OP2 sugarai közti ϑ szöget. Legyen Pi vetülete az Egyenlítő síkján P'i, és vegyük hosszúságegységnek a Föld sugarát. Ekkor
OP'i=cosφi,PiP'i=sinφi,
(az utóbbi a déli félgömb pontjaira negatív). Az OP'1P'2 háromszögből a koszinusz tételt alkalmazva
P'1P'22=cos2φ1+cos2φ2-2cosφ1cosφ2cos(λ2-λ1).
Így a P1P'1P'2P2 derékszögű trapéz (ez hurkolt trapéz is lehet) száraként a P1P2 gömbi húrra, majd az OP1P2 háromszög O-nál levő szögére
P1P22=P'1P'22+(P1P'1-P2P'2)2=(cos2φ1+sin2φ1)+(cos2φ2+sin2φ2)--2cosφ1cosφ2cos(λ2-λ1)-2sinφ1sinφ2,cosϑ=OP12+OP22-P1P222OP1OP2=sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cos(λ2-λ1).



Cser László (Csorna, Hunyadi J. g. III. o. t.)

2K. M. L. 22 (1961) 157. o.