Feladat: 1335. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arányi P. ,  Bárány I. ,  Deák J. ,  Demetrovics J. ,  Dévaj Ágnes ,  Domokos L. ,  Füvesi I. ,  Huhn A. ,  Kajcsos Zs. ,  Kálmán A. ,  Kövér Á. ,  Lévai F. ,  Molnár Ágnes ,  Petrovich I. ,  Racskó P. ,  Recski A. ,  Rimóczy P. ,  Szörényi Miklós ,  Tényi G. ,  Vajda A. 
Füzet: 1965/szeptember, 21 - 22. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Kör egyenlete, Négyzetrács geometriája, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/szeptember: 1335. matematika feladat

A koordinátarendszer origója körül kört írtunk, melynek sugara r=1000 egység. Hány rácspont van e kör belsejében és kerületén? (Rácspontnak nevezzük az olyan pontokat, melyeknek mindkét koordinátája egész szám.) Hány rácspont lesz a körön és a belsejében, ha r2 értékének egymás után a következő számokat vesszük: 999, 998, 997, 996, 995; 1001, 1002, 1003, 1004, 1005?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

a) A körbe négyzetet írunk, melynek az oldalai párhuzamosak a tengelyekkel, az így levágott körszeleteket megfelezzük a tengelyek beléjük eső szakaszaival, és a rácspontokat az így felosztott kör részeiben és az osztásvonalakon számláljuk meg, felhasználva egyszerűsítéshez a szimmetriákat.
A négyzet oldalai az x=±500, y=±500 egyenesek, ezeken nincs rácspont, mert 500 nem négyzetszám. 50022,3..., eszerint a négyzet belsejében vannak mindazok a rácspontok, amelyek mindkét koordinátájának abszolút értéke nem nagyobb 22-nél, számuk (222+1)2=2025.
A körszeleteket kettévágó szakaszokon ugyanannyi rácspont van. Az X-tengely pozitív felén levő AB szakasz első rácspontjának abszcisszája az előzők szerint 23, az utolsóé 31, mert B abszcisszája r=31,6..., így a rácspontok száma a szakaszon 3122, a 4 ilyen szakaszon pedig 36.
Már csak az ABC fél körszelet belsejében és a BC íven levő rácspontok megszámlálása van hátra, mert a kör még nem tekintett 7 része ebből az origó körüli 90-os forgatásokkal, a tengelyeken és a tengelyek OC felezőjén való tükrözésekkel előállítható, és minden ilyen szimmetria a rácspontokat is egymásba viszi át.
Az ABC idom mondott rácspontjait a rajtuk átmenő, az Y-tengellyel párhuzamos x=23, 24, ..., 31 egyenesek szerint csoportosítva számláljuk meg. Ehhez táblázatban feltüntetjük a BC íven levő metszéspontjuk y=1000-x2 ordinátáját, így rácspontjaik n száma mindig y egész része. Az n oszlopban álló számok összege 136, így a körben levő rácspontok száma
2025+36+8136=3149.

xx2y2=1000-x2yn2352947121,7...212457642420,5...202562537519,3...192667632418  egész182772927116,4...162878421614,6...142984115912,6...123090010010  egész1031961  39  6,2...  6

b) Az eddigieket a további előírt r2 értékek esetéhez is felhasználhatjuk. Az ezekhez tartozó négyzetekben, az AB szakaszon és szimmetrikusain a rácspontok száma annyi, mint r2=1000 esetén, mert ehhez képest a legkisebb és a legnagyobb r2 érték esetében a négyzetgyökök egész része változatlan:
497,5=22,3...,995=31,5...,502,5=22,4...,1005=31,7....

A táblázat szerint a (26;18) és a (30;10) rácspont rajta van a BC íven. Ezért a kisebb r2 értékekre áttérve az ABC idomban 2-vel, a körben pedig 82=16-tal csökken a rácspontok száma. Hasonló eset adódhat, ha az y2 oszlopban álló számot egymás után 1-gyel, 2-vel, ..., 5-tel csökkentve négyzetszámot kapunk. Egyetlen ilyen eset az x=31 egyenes esete, amelyben 997-312=62, eszerint r2-et 996-ra csökkentve a kör rácspontjainak száma ismét 8-cal csökken.
r2-et 1005-ig növelve a körív nem megy át újabb rácspontokon, mert az y2 oszlop számait 1-gyel, 2-vel, ..., 5-tel növelve sehol sem lépünk négyzetszámra. Ezek szerint r2 összes vizsgált értékeihez a megfelelő kör belsejében és kerületén levő rácspontok együttes N száma, valamint közülük a kerületen levők M száma

r2=1995,996,997,998,999,1000,1001,1002,1003,1004,1005,N=3125,3125,3133,3133,3133,3149,3149,3149,3149,3149,3149,M=3250,0,8,0,0,16,0,0,0,0,0.  

Szörényi Miklós (Pécs, Széchenyi I. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzések. I. Hasonló, de kissé hosszabb számítás szerint az r2=1000 értéket megtartva, de a kört a (0,5;0), vagy a (0,5;0,5) pont körül írva a rácspontok száma mindkét esetben 3144.
2. Kézenfekvő sejtés, (amit a ,,közelítőleg'' megfelelő precizírozása mellett nem túl nehéz igazolni), hogy a koordinátarendszerbe egy elég nagy konvex idomot helyezve a benne levő rácspontok száma és az idom területének mértékszáma közelítőleg egyenlők. Erre támaszkodva eredményeinkből π-re kaphatunk 3,14 körüli közelítő értéket.