Feladat: 1326. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh K. ,  Bódi Z. ,  Bóta K. ,  Deák I. ,  Eőri L. ,  Gyenes G. ,  Hoffmann Gy. ,  Huhn A. ,  Kiss Katalin ,  Lamm P. ,  Márki L. ,  Mátrai M. ,  Nagy Klára ,  Patkós András ,  Siket Aranka ,  Simonovits András ,  Sükösd Csaba ,  Szalay M. ,  Székely G. ,  Szemkeő Judit ,  Szép A. ,  Treer Mária ,  Veres F. 
Füzet: 1965/május, 209 - 211. oldal  PDF file
Témakör(ök): Csillagászati, földrajzi feladatok, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Numerikus és grafikus módszerek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/május: 1326. matematika feladat

Egy nagyotmondásairól ismert pilóta mesélte: ,,Egy felszállásomban északi irányban indultam el, majd 10000km-nyi repülés után kelet felé repültem ugyancsak 10000km-t. Végül ismét észak felé fordultam és újabb 10000km repülőút után a kiindulási pontomon szálltam le.''
Egy társa ezt felelte: ,,Elbeszélésed meglepő mégis elhiszem. Sőt ‐ amennyiben választ adsz egy kérdésemre ‐ ki is számítom, mely szélességi körről indultál el, ha majd te is kiszámítod az én valamivel hihetőbb történetem kiindulási szélességi körét. ‐ Egyszer én is 30000km-nyi repülés után értem vissza oda, ahonnét felszálltam. 5 egymás utáni útszakasz mindegyikében 6000km-t repültem. Kelet felé indultam, majd sorra északnak, keletnek, délnek fordultam, végül ismét keletnek. Utamnak közel 8%-át már átrepült útvonalon tettem meg. Nos, te az utad harmadrészén, vagy a felén repültél már bejárt útvonalon ? Vagy talán ennél is nagyobb részén ?''
Az első így felelt: ,,A felén''.
Számítsuk ki mi is 0,1-nyi pontossággal a két pilóta felszállási helyének földrajzi szélességét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az első pilóta ‐ legyen a neve Elek ‐ első hallásra valóban meglepő szavait megmagyarázhatjuk a második pilóta ‐ nevezzük őt Mátyásnak ‐ kérdése alapján. Mátyás tudta, hogy Elek legalább 10000 km-t bejárt útvonalon repült. Ez a délkörön megtett első és harmadik útszakaszra vonatkozóan megérthető abból, hogy észak felé haladva az Északi-sark átlépése után már dél felé haladunk (megváltozik irányunknak a neve). Ha most valahol megállunk, majd ismét észak felé indulva az addigival egyenlő utat teszünk meg irányváltoztatás nélkül, akkor valóban visszaérkezünk kiindulópontunkba. ‐ A 3. útszakasz kezdőpontjának az 1. útszakasz végpontjával való egybeesése viszont úgy lehetséges, hogy közben Elek egy szélességi körön repült (mindig az észak-déli irányra merőlegesen), és annak a szélességi körnek a kerülete egész számszor van meg a 2. szakasz 10000 km-es hosszában. Mátyás éppen ennek a szélességi körnek kerületét kérdezte burkoltan Elektől, a válaszból aztán kiszámította a kör földrajzi szélességét, ebből pedig a felszállási hely szélességét.
Elek válasza szerint 15000 km-nél kezdett repülni járt szakaszon, így a szélességi kör kerülete 5000 km. Másrészt a φ szélességű kör kerülete km-ben 40000cosφ, mert r sugarára és a főkör R sugarára r=Rcosφ, továbbá 2Rπ= =40000 km, így cosφ=1/8, φ=82,8. Eszerint Elek az Északi-sark átrepülése után még 7,2-ot repült dél felé, és így előzőleg 82,8-ot észak felé, tehát felszállási helye az északi szélesség 7,2-án volt (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

b) Mátyás a maga 2. és 4. útszakaszában délkörön repült, a többi háromban szélességi körön, mégpedig az 1. és 5. szakaszban ugyanazon a φ szélességű körön, különben nem ért volna vissza felszállási helyére.
Ha ‐ a szokástól eltérően ‐ az egész Földön csak keleti hosszúságról beszélünk, és a kezdő délkörön (Greenwich) való keleti irányú átrepüléskor nem vonunk le 360-ot, akkor Mátyás gépének földrajzi hosszúsága az 1., 3. és 5. szakaszban növekedett, a 2. és 4. szakaszban nem változott, és az egész út folyamán 360-kal, vagy annak egy egész többszörösével növekedett.
A 2. útszakaszban nem ért fel Mátyás az Északi-sarkig, mert ha azt átrepülte volna, akkor a 4. szakaszban délnek fordulva a kiindulásinál délibb körre jutott volna. A 6000 km-es útszakaszok a délkörön 54 változást eredményeznek a földrajzi szélességben, ezért Mátyás felszállási helyének szélessége 54-kal kisebb a 3. útszakasz szélességénél.
 
 
2. ábra
 

Mátyás már egyszer átrepült útvonalon közel 2400 km-t repült. * Ez nem eshetett a 4. szakaszba, különben ez az egész útszakasz egyszer bejárt útvonal lenne, ami már magában 20%. ‐ Tegyük fel, hogy a mondott 2400 km a repülés 3. szakaszába esett. Így az ebben bejárt szélességi kör kerülete kb. 6000-2400=3600 km (valamivel több ennél). Így e kör φ szélességére a fenti számításhoz hasonlóan cosφ3600:40000=0,09, és így közel 85 adódik. 2 Ezen a körön Mátyás egyszer körülrepült, és másodszor is megtette közel 2/3 részét, így földrajzi hosszúsága a 3. útszakaszban közel 360+240=600-kal növekedett. Másrészt ekkor az 1. és 5. útszakasz kevéssel a 31-os szélességi fok alatt volt, ennek kerülete 40000cos31, ezért a két 6000 km-es szakaszon 36012000/40000cos31=108/cos31126-os hosszúságnövekedés állt be. Ez a fentivel 726 körüli összeget ad, ami jó közelítéssel két fordulat, innen tehát kellő finomítással megoldást várhatunk.
A földrajzi hosszúság növekedésének a 3. szakaszra eső részét hasonlóan kifejezve, φ-re a következő egyenletet kapjuk:
2360600040000cos(φ-54)+360600040000cosφ=720,6cos(φ-54)+3cosφ=40.


Ezt a szokásos módon átalakítva nem redukálható negyedfokú egyenletre jutunk; ezért közelítő megoldást keresünk próbálgatással.
φ=85 esetén a bal oldal értéke 7,00+34,42=41,42, ez 1,42 többletet mutat a kívánt értékhez képest. φ csökkentésével mindkét nevező nő, és ezért a bal oldal csökken. Valóban, φ=84,5-ot véve már hiányt is mutat: 6,96+31,30=38,26, hiánya 1,74. Így a használt két φ érték között gyök várható, mégpedig a 85-hoz kissé közelebb, mint a 84,5-hoz. Valóban φ=84,8 esetén a bal oldal értéke 6,98+33,10=40,08. ‐ Eszerint Mátyás a 30,8-os északi szélességű körről szállt fel, 3. útszakaszán a szélességi kör kerülete kb. 3626 km, így a kétszer berepült útvonala 2374 km, ami 7,9%.
Ennek igazolására megmutatjuk még, hogy nem lehetett kétszer berepült rész Mátyás útvonala 1. és 5. szakaszában. Ugyanis ezt téve fel az illető szélességi kör kerülete kevéssel több volna 26000-2400=9600 km-nél. Így szélességére közelítőleg cosφ=0,24, amiből egyrészt felszállási helyként csak a 76-os déli szélességű kör valamely pontja jön szóba, a 3. útszakaszra pedig a 22-os déli szélességű kör. Másrészt az 1. és 5. szakaszban elért hosszúságnövekedés csak kb. 36012000/9600=450, és ezt a kb. 37000 km kerületű 22-os körön megtett 6000 km nem növelhetné 510-ra sem.
 
Egyszerűsítésekkel, kiegészítésekkel a következők dolgozataiból:
 
Patkós András (Budapest, Radnóti M. gyak. g. III. o. t.)
Siket Aranka (Makó, József A. g. III. o. t.)
Sükösd Csaba (Budapest, József A. g. III. o. t.)
*A ,,közel 8%''-ot úgy értjük, hogy 7,5%-nál több, de 8%-nál kevesebb.

2A déli szélesség 85-a nyilvánvalóan nem jön tekintetbe.