Feladat: 1324. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bak Zsuzsanna ,  Balla Katalin ,  Bódi Z. ,  Bóta K. ,  Deák I. ,  Dévaj Ágnes ,  Ferenczi Gy. ,  Ferenczi M. ,  Gyenes G. ,  Huhn A. ,  Kersner R. ,  Külvári I. ,  Márki L. ,  Mátrai M. ,  Nagy Klára ,  Patkós A. ,  Siket Aranka ,  Simonovits András ,  Surányi L. ,  Sükösd Cs. ,  Székely G. ,  Szép A. ,  Treer Mária ,  Veres F. 
Füzet: 1965/április, 170 - 171. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletek grafikus megoldása, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Kör egyenlete, Parabola egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/május: 1324. matematika feladat

Határozzuk meg az
x2+y2-2px-2qy+2q-1=0(1)
egyenletű kör középpontjának koordinátáit úgy, hogy a kör és az X-tengely metszéspontjaihoz tartozó abszcisszák egyenlők legyenek az
x2+bx+c=0(2)
egyenlet gyökeivel. Hogyan használhatjuk fel a talált eredményt a másodfokú egyenlet gyökeinek megszerkesztésére ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az (1) egyenlet így írható:

(p-x)2+(q-y)2=p2+q2-2q+1=p2+(q-1)2,(1a)
eszerint a kör középpontja a K(p,q) pont, és sugarának négyzete r2=p2+(q-1)2, ez pedig K és a C(0;1) pont távolságának négyzete. Eszerint a kör bármely p, q értékpár esetén átmegy az állandó C ponton.
A kör és az X-tengely metszéspontjainak koordinátáit megadó egyenletet (1)-ből y=0 helyettesítésével kapjuk:
x2+2px+2q-1=0,(3)
Ez a négyzetes tag együtthatójában megegyezik (2)-vel, ezért gyökeik akkor és csak akkor egyeznek meg, ha a további együtthatók megegyeznek:
-2p=bés2q-1=c,
amiből K koordinátái:
p=-b/2,q=(1+c)/2.

II. Eszerint (2) gyökeit úgy kapjuk, hogy a K(-b/2,(1+c)/2) pont körül a C ponton átmenő kört rajzolunk és leolvassuk az X-tengellyel való közös pontjainak abszcisszáit. Közös pont biztosan van, ha K az x=1/2 egyenes alatt adódik, vagy éppen az egyenesen, vagyis q1/2, c0 esetén. Ha q>1/2, akkor közös pont létezésének feltétele az, hogy a KC sugár legalább akkora legyen, mint K-nak az X-tengelytől való távolsága, vagyis K ordinátája. Innen
(-b2)2+(1+c2-1)21+c2,
másképpen, mivel mindkét oldal pozitív, b2-4c0.
Ez a feltétel magában foglalja a fenti c0 követelményt is. A feltétel azt fejezi ki, hogy K a C-vel mint fókusszal és az X-tengellyel mint vezéregyenessel meghatározott parabolára nézve külső pont, vagy rajta van a parabolán.
 Dévaj Ágnes (Sárvár, Tinódi S. g. III. o. t.)
 

Megjegyzés. Az eljárást a gyakorlatban kéthegyű (mérő)-körzővel is szokták alkalmazni, a körző mozgó tűjét a leolvasás idejére az X-tengellyel való metszéspontba beszúrják.