Kezdőlap


Feladat:	1312. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ferenczi Miklós , Lakatos Aladár , Mátrai Miklós
Füzet:	1965/január, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/március: 1312. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Fejezzük ki a bal oldali $K$ kifejezés utolsó tagját a

\begin{matrix} ctg 2 v = \frac{1}{tg 2 v} = \frac{1 - {tg}^{2} v}{2 tg v} \end{matrix}

azonosság alkalmazásával a fele akkora szög függvénye gyanánt, majd az adódó összevonások után hasonlóan haladjunk tovább. A kifejezés az alábbiak szerint egyszerűsödik:

\begin{matrix} K & = tg x + 2 tg 2 x + 4 tg 4 x + \frac{8}{tg 8 x} = \\ = tg x + 2 tg 2 x + 4 tg 4 x + \frac{4 (1 - {tg}^{2} 4 x)}{tg 4 x} = \\ = tg x + 2 tg 2 x + \frac{4}{tg 4 x} = tg x + 2 tg 2 x + \frac{2 (1 - {tg}^{2} 2 x)}{tg 2 x} = \\ = tg x + \frac{2}{tg 2 x} = tg x + \frac{1 - {tg}^{2} x}{tg x} = \frac{1}{tg x} = ctg x, \end{matrix}

eszerint a két oldal valóban azonos.

Ferenczi Miklós (Budapest, Eötvös J. Gimn. III. o. t.)

Megjegyzés. Az azonosság természetesen az olyan helyek kivételével érvényes, ahol valamelyik tagja nincs értelmezve.

II. megoldás. Képezzük a jobb és a bal oldal különbségét, majd alkalmazzuk a

\begin{matrix} ctg y - tg y = \frac{1}{tg y} - tg y = \frac{1 - {tg}^{2} y}{tg y} = \frac{2}{tg 2 y} = 2 ctg 2 y \end{matrix}

azonosságot. A különbség:

\begin{matrix} ctg x - tg x - 2 tg 2 x - 4 tg 4 x - 8 ctg 8 x = \\ = 2 (ctg 2 x - tg 2 x) - 4 tg 4 x - 8 ctg 8 x = \\ = 4 (ctg 4 x - tg 4 x) - 8 ctg 8 x = 0, \end{matrix}

ezzel az azonosságot bebizonyítottuk.

Lakatos Aladár (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. G. III. o. t.)

Megjegyzés. Az eljárás folytatásával a következő azonosságot kapjuk:

\begin{matrix} tg x + 2 tg 2 x + 4 tg 4 x + ... + 2^{n - 1} tg 2^{n - 1} x + 2^{n} ctg 2^{n} x = ctg x \end{matrix}

.
Mátrai Miklós (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn. III. o. t.)