Feladat: 1312. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Ferenczi Miklós ,  Lakatos Aladár ,  Mátrai Miklós 
Füzet: 1965/január, 20 - 21. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/március: 1312. matematika feladat

Bizonyítsuk be a következő azonosságot:
tgx+2tg2x+4tg4x+8ctg8x=ctgx.(1)
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Fejezzük ki a bal oldali K kifejezés utolsó tagját a

ctg2v=1tg2v=1-tg2v2tgv
azonosság alkalmazásával a fele akkora szög függvénye gyanánt, majd az adódó összevonások után hasonlóan haladjunk tovább. A kifejezés az alábbiak szerint egyszerűsödik:
K=tgx+2tg2x+4tg4x+8tg8x==tgx+2tg2x+4tg4x+4(1-tg24x)tg4x==tgx+2tg2x+4tg4x=tgx+2tg2x+2(1-tg22x)tg2x==tgx+2tg2x=tgx+1-tg2xtgx=1tgx=ctgx,
eszerint a két oldal valóban azonos.
 
 Ferenczi Miklós (Budapest, Eötvös J. Gimn. III. o. t.)
 

Megjegyzés. Az azonosság természetesen az olyan helyek kivételével érvényes, ahol valamelyik tagja nincs értelmezve.
 

II. megoldás. Képezzük a jobb és a bal oldal különbségét, majd alkalmazzuk a
ctgy-tgy=1tgy-tgy=1-tg2ytgy=2tg2y=2ctg2y
azonosságot. A különbség:
ctgx-tgx-2tg2x-4tg4x-8ctg8x==2(ctg2x-tg2x)-4tg4x-8ctg8x==4(ctg4x-tg4x)-8ctg8x=0,


ezzel az azonosságot bebizonyítottuk.
 
 Lakatos Aladár (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. G. III. o. t.)
 

Megjegyzés. Az eljárás folytatásával a következő azonosságot kapjuk:
tgx+2tg2x+4tg4x+...+2n-1tg2n-1x+2nctg2nx=ctgx
.
 Mátrai Miklós (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn. III. o. t.)