Kezdőlap


Feladat:	1308. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Belső L. , Bódi Zoltán , Bóta K. , Czina F. , Deák I. , Ferenczi Gy. , Hortobágyi J. , Huhn A. , Kerényi I. , Kersner R. , Kiss Katalin , Kövér Á. , Mátrai M. , Nagy Klára , Pelikán J. , Siket Aranka , Simonovits András , Sófalvi M. , Sövényházy Mária , Treer Mária , Veres F.
Füzet:	1965/március, 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Numerikus és grafikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/március: 1308. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $50^{\circ}$ -os szög 3-szorosának, $150^{\circ}$ -nak trigonometriai függvényeit pontosan ismerjük, képezzük ezért a hozzá közel álló $3 x$ -nek is egyik függvényét, pl. a színuszát. A $sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x$ azonosság alapján

\begin{matrix} sin 3 x = \frac{3}{10} (5 \sqrt[]{3} - 1) - \frac{4}{1000} (390 \sqrt[]{3} - 226) = \frac{151 - 15 \sqrt[]{3}}{250}, \end{matrix}

másrészt

sin 150^{\circ} = 1 / 2

. A kettő különbsége:

\begin{matrix} \frac{150 - 15 \sqrt[]{3}}{250} - \frac{1}{2} = \frac{26 - 15 \sqrt[]{3}}{250} = \frac{\sqrt[]{676} - \sqrt[]{675}}{250} > 0. \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} sin 3 x > sin 150^{\circ}, \end{matrix}

és mivel az

y = sin x

függvény a

150^{\circ}

-ot magában foglaló

(90^{\circ}

270^{\circ})

intervallumban fogy, nagyobb értéket kisebb helyen vesz fel, azért

3 x

kisebb

150^{\circ}

-nál,

x

kisebb

50^{\circ}

-nál.

Bódi Zoltán (Makó, József A. g. III. o. t.)