|
Feladat: |
1302. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balázs J. , Bojtár J. , Bóta K. , Császár Z. , Deák I. , Dévény Ilona , Huhn A. , Jahn L. , Kerényi I. , Kiss Katalin , Kövér Á. , Laczkovich M. , Lehel Csaba , Lovász L. , Lux I. , Márki L. , Nagy Klára , Nagy Pál Géza , Pelikán J. , Peterdy György , Siket Aranka , Simonovits András , Sófalvi M. , Sükösd Cs. , Szednrődi Annamária , Szemkeő Judit , Szép A. , Szörényi M. , Sörlei Zsuzsa , Treer Mária , Veres F. |
Füzet: |
1965/január,
18 - 20. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számfogalom bővítése, Másodfokú diofantikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Maradékos osztás, Szakaszos tizedestörtek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/február: 1302. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy a szóban forgó szakaszos tizedes törtek racionális számok, vagyis van olyan , pozitív egész számpár, hogy pl. Kövessük az hányados első néhány jegyének megállapítását. , különben a hányados egész része nem lehetne O. A következő a jegyet a hányados egész része adja, és itt fellép egy a -nél kisebb pozitív maradék, különben a hányados nem lenne végtelen tizedes tört: | | (2) |
A következő lépésben a hányados egész része , és a maradék ismét . A végtelen tizedes tört számjegyeinek vég nélküli ismétlődése ugyanis a rész‐osztandó megismétlődésének a következménye, az utóbbi pedig csak akkor egyenlő a megelőző rész‐osztandóval, ha a rész‐maradék is egyenlő a megelőzővel. Így (2) figyelembevételével
állításunknak megfelelően, ugyanis egész szám. Nem lehet sem , sem , mert így (3)-ból , ill. adódik, ellentétben (2)-vel, és a hányados véges tizedes tört: , ill. . ‐ Ugyanígy 0, . Ezek szerint az , , , számjegyeket az alábbiak szerint kell meghatároznunk:
Az átrendezett alak szerint a jobb oldal teljes négyzet, és ez áll a tényező elhagyása után maradó szorzatra is. Az 5 törzsszám, ezért a zárójelbeli kifejezés egy teljes négyzet 5-szöröse: és értéke csak 1, 2, 3, 4 lehet. Figyelembe véve a , , és , követelményeket, a szóba jövő számjegynégyeseket az alábbiak szerint kapjuk:
, , , , , , ;
, , , ; nem felel meg, mert nem különbözők;
, , nem felel meg, mert osztható 9-cel, amit kizártunk;
, , , , nem különbözők.
Mindezek szerint csak az , , , számjegynégyes jön szóba, és ez meg is felel a feltételnek:
| | Peterdy György (Győr, Benedek‐rendi Czuczor G. G. III. o. t.)
Megjegyzések. 1. (4)-ből , -t így kapjuk: többszöröse 3-nak és 5-nek, ezek relatív prímek, tehát 15-nek is; ezért , ahol egész; másrészt a jobb oldalon a kivonandót elhagyva , , ennélfogva , 2, 3 4. Mármost -gyel , , a fenti megoldást kapjuk, a további értékek mellett , ill. , vagy 9.
Lehel Csaba (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. G. III. o. t.)
2. Számos dolgozat ,,ismert szabály''-ra hivatkozva alakította át a szakaszos tizedes törtet közönséges törtté, mások az ugyancsak többhelyütt bemutatott fogással: , kivonással . Ezek helyes eredményre vezetnek, de a középiskolában nem tisztázott úton, ugyanis nem láttuk be, hogy a véges számú jeggyel írt számokra ismert kivonási eljárásunk érvényes-e a vég nélküli tizedes törtekre.
|
|